2019-天津卷理-11 填-组合体

本题导读

本题考查棱锥与圆柱的组合体，以及中位线定理。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$。若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求四棱锥的高：

• 底面正方形边长为 $\sqrt{2}$，则底面中心到顶点的距离（半条对角线）为 $1$。
• 侧棱长为 $\sqrt{5}$，利用勾股定理求出四棱锥的高度 $H$。

2. 确定圆柱的参数：

• 半径 $r$：圆周经过四条侧棱的中点。由相似三角形（或中位线定理）可知，中点构成的正方形边长是底面边长的一半，其外接圆半径也是底面外接圆半径的一半。
• 高 $h$：圆柱的一个底面在侧棱中点处，另一个底面在四棱锥底面上。由于中点到顶点的垂直距离是总高度的一半，中点到底面的距离也是总高度的一半。

3. 体积计算：利用 $V=\pi r^{2}h$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\pi }{4}$

【解析过程】

1. 计算四棱锥的高 $H$： 底面为边长 $a=\sqrt{2}$ 的正方形，其对角线长度为 $\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$。 底面中心 $O$ 到各顶点的距离为 $R_{底}=\frac{1}{2}\times 2=1$。 已知侧棱 $L=\sqrt{5}$，则四棱锥的高 $H=\sqrt{L^2-R_{底}^2}=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=2$。

2. 确定圆柱的底面半径 $r$： 圆柱的一个底面圆周经过四条侧棱的中点。 由中位线定理，这些中点到四棱锥高 $SO$ 的距离等于底面顶点到高距离的一半。 所以圆柱半径 $r=\frac{1}{2}{R}_{底}=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$。

3. 确定圆柱的高 $h$： 圆柱的一个底面在侧棱中点所在的水平截面上，另一个底面在四棱锥底面上。 由于侧棱中点到高度的比例为 $1:2$，该截面到底面的距离 $h=\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}\times 2=1$。

4. 计算圆柱体积 $V$： $V=\pi r^{2}h=\pi \times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 1=\frac{\pi }{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中点的性质：在棱锥中，侧棱中点形成的截面与底面相似，且位似比为 $1:2$。这意味着截面上的长度（半径、边长）以及到底面/顶点的距离（高度）都是整体的一半。
2. 空间想象力：做此类题时，脑海中应能构建出“圆柱嵌在棱锥内部”的图像，或通过绘制过高的侧对角面（等腰三角形）来简化计算。
3. 易错点：注意底面是正方形，求半径时要先算对角线的一半，而不是直接用边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 正四棱锥外接球：球心在高上，满足 $R^2=(H-R{)}^2+R_{底}^2$。
• 内切球：球心到各面的距离相等。
• 中点截面：面积比为 $1:4$，体积比为 $1:8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质
• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削