2019-天津卷理-13 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及目标函数的代数变形。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设 $x>0,y>0,x+2y=5$，则 $\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}}$ 的最小值为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开分子： 将 $(x+1)(2y+1)$ 展开得到 $2xy+x+2y+1$。
2. 利用已知条件代换： 已知 $x+2y=5$，代入展开式中，将分子化简为 $2xy+5+1=2xy+6$。
3. 构造基本不等式形式： 将原式拆分为 $\frac{2xy}{\sqrt{xy}}+\frac{6}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}$。
4. 求最值： 利用 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (当 $a,b>0$ 时) 求解，并务必验证等号成立的条件（即 $x,y$ 是否有解且满足已知条件）。

✅【答案】

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$4\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $4\sqrt{3}$

【解析过程】

1. 化简目标函数： 令 $f(x,y)=\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}}$。 展开分子：$(x+1)(2y+1)=2xy+x+2y+1$。 因为 $x+2y=5$，代入上式得： $(x+1)(2y+1)=2xy+5+1=2xy+6$ 所以： $f(x,y)=\frac{2xy+6}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}$

2. 运用基本不等式： 因为 $x,y>0$，所以 $\sqrt{xy}>0$。由基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 得： $2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}\ge 2\sqrt{2\sqrt{xy}\cdot \frac{6}{\sqrt{xy}}}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$

3. 验证等号成立条件： 当且仅当 $2\sqrt{xy}=\frac{6}{\sqrt{xy}}$ 时，等号成立。 即 $2xy=6⟹xy=3$。 联立已知条件： $\{\begin{array}{l}xy=3\\ x+2y=5\end{array}$ 将 $x=5-2y$ 代入 $xy=3$ 得： $(5-2y)y=3⟹2y^2-5y+3=0⟹(2y-3)(y-1)=0$。 解得 $y=1$ 或 $y=\frac{3}{2}$。

• 当 $y=1$ 时，$x=3$，满足 $x,y>0$。
• 当 $y=\frac{3}{2}$ 时，$x=2$，满足 $x,y>0$。 等号可以成立，故最小值为 $4\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “1”的代换与直接代换：本题中直接将 $x+2y$ 整体代入分子是最简便的路径。
2. 基本不等式的核心：一正（各项为正）、二定（积或和为定值）、三相等（等号能取到）。
3. 变形技巧：看到分子中有已知条件的结构（如 $x+2y$），应有意识地通过展开或配凑将其转化为常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下结构：

• 和定积最大：若 $x+y=S$，则 $xy\le \frac{S^2}{4}$。
• 积定和最小：若 $xy=P$，则 $x+y\ge 2\sqrt{P}$。
• 倒数和结构：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$（常用于斜率或比例问题）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式