2019-江苏卷-04 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）函数 $y=\sqrt{7+6x-x^2}$ 的定义域是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确限制条件：对于二次根式 $y=\sqrt{f(x)}$，其定义域要求被开方数非负，即 $f(x)\ge 0$。
2. 建立不等式：由题意列出 $7+6x-x^2\ge 0$。
3. 标准化处理：为了方便求解，通常将二次项系数化为正数，即不等式两边同乘以 $-1$（注意不等号方向改变）。
4. 因式分解求根：利用十字相乘法求出对应方程的根，并根据“小于取中间”的原则写出解集。

✅【答案】

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$[-1,7]$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $[-1,7]$

【解析过程】 要使函数 $y=\sqrt{7+6x-x^2}$ 有意义， 需满足被开方数： $7+6x-x^2\ge 0$ 整理得： $x^2-6x-7\le 0$ 对左边进行因式分解： $(x-7)(x+1)\le 0$ 由一元二次不等式的解法可知，该不等式的解集为： $-1\le x\le 7$ 以区间形式表示，该函数的定义域为 $[-1,7]$。

故填：$[-1,7]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定义域的数学本质：求定义域实质上是解不等式（组）。常见的限制包括：分母不为 0、偶次根号下非负、对数真数大于 0、零指数幂底数不为 0 等。
2. 不等式变换的细节：在将 $-x^2$ 转化为 $x^2$ 时，极易忘记改变不等号的方向，这是此类简单题中最常见的失分点。
3. 结果表达规范：填空题中，定义域通常要求写成集合或区间的形式。虽然部分省份对 $[-1,7]$ 这种闭区间写法认可度很高，但若写成 $\{-1\le x\le 7\}$ 往往是不符合集合规范的，建议优先使用区间形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录下解决此类问题的标准动作：

• 第一步：看开口。确保二次项系数 $a>0$（如果不大于 0，就两边同乘 -1 变号）。
• 第二步：求判别式与根。计算 $\Delta$。若有根 $x_1,x_2$（设 $x_1<x_2$）。
• 第三步：定区间。
  • 若 $a{x}^2+bx+c>0$，取“两边”：$(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$。
  • 若 $a{x}^2+bx+c<0$，取“中间”：$(x_1,x_2)$。
• 数形结合：脑海中浮现二次函数的图像，看图像在 $x$ 轴上方还是下方的部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-25
• 2003-北京卷理-01
• 2004-全国卷III理-05 单-函数的定义域