2019-江苏卷-06 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从 5 名同学中任选 2 名，不考虑顺序，基本事件总数为 $C_5^2$。

2. 方法一：直接法。将“至少有 1 名女同学”分为两类：

• 恰有 1 名女同学（1女1男）；

• 恰有 2 名女同学（2女0男）。

分别计算各类的组合数并求和。

3. 方法二：间接法（推荐）。利用对立事件求解：

• “至少有 1 名女同学”的对立事件是“全是男同学”。

• 概率 = 1 - $P(\text{全是男同学})$。

✅【答案】

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$\frac{7}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{7}{10}$

【解析过程】

方法一（直接法）：

从 5 名同学中选 2 人的基本事件总数为 $n=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$。

选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含两种情况：

1. 恰有 1 名女同学：从 2 名女生中选 1 人，从 3 名男生中选 1 人，共有 $C_2^1\cdot C_3^1=2\times 3=6$ 种；

2. 恰有 2 名女同学：从 2 名女生中选 2 人，共有 $C_2^2=1$ 种。

所以满足条件的事件数为 $m=6+1=7$。

所求概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$。

方法二（间接法）：

从 5 名同学中选 2 人的基本事件总数为 $C_5^2=10$。

其对立事件为“选出的 2 名同学全部是男同学”，事件数为 $C_3^2=3$。

则全男的概率为 $P_1=\frac{3}{10}$。

故至少有 1 名女子的概率为 $P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。

故填：$\frac{7}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “至少”问题的警觉性：在概率和计数问题中，看到“至少”或“至多”关键字，应优先考虑间接法。如果对立事件的情况更少，计算量会大大降低且不易出错。

2. 组合还是排列：本题是“选出参加服务”，与选出的先后顺序无关，因此使用组合数 $C$。如果题目是“安排两个不同的岗位”，则需考虑顺序，使用排列数 $A$ 或分步乘法。

3. 古典概型的核心：确保每个基本事件是等可能发生的。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结如下步骤：

• Step 1: 算总数（分清是排列 $A$ 还是组合 $C$）。

• Step 2: 找目标（正面分类或反面排除）。

• Step 3: 做除法（目标数 / 总数）。

• Check: 结果必须在 $[0,1]$ 之间，否则一定算错了。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-12 单-古典概型与组合数公式

• 2000-新课标理-17 解-古典概型

• 2001-上海卷理-09 填-古典概型与排列组合