2019-江苏卷-15 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理的基本应用。核心在于方程思想、弦切转化/代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。

(1)若 $a=3c$，$b=\sqrt{2}$，$\cos B=\frac{2}{3}$，求 $c$ 的值；

(2)若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2b}$，求 $\sin (B+\frac{\pi }{2})$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求边长）：

• 已知两边（其中一笔为倍数关系）及夹角的余弦值，直接套用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
• 将 $a=3c$ 代入，构建关于 $c$ 的一元二次方程。

2. 第二问（求三角函数值）：

• 边角转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将已知等式中的 $\frac{\sin A}{a}$ 替换为 $\frac{\sin B}{b}$。
• 化简关系：得到 $\sin B$ 与 $\cos B$ 的比例关系（即 $\tan B$ 的值）。
• 诱导公式：识别 $\sin (B+\frac{\pi }{2})=\cos B$。
• 求值：利用 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 结合符号判断，求出 $\cos B$。

✅【答案】

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(1)$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2)$\sin (B+\frac{\pi }{2})=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $a=3c$，$b=\sqrt{2}$，$\cos B=\frac{2}{3}$， 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $(\sqrt{2}{)}^2=(3c{)}^2+c^2-2(3c)(c)\cdot \frac{2}{3}$ $2=9c^2+c^2-4c^2$ $2=6c^2$ $c^2=\frac{1}{3}$ 因为 $c>0$，所以 $c=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2)解： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 知 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$。 代入已知条件 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2b}$ 得： $\frac{\sin B}{b}=\frac{\cos B}{2b}$ 整理得 $\cos B=2\sin B$。 由 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 代入上式得： ${\sin }^{2}B+(2\sin B{)}^2=1$ $5{\sin }^{2}B=1⟹{\sin }^{2}B=\frac{1}{5}$ 因为在 $△ABC$ 中，$\sin B>0$，所以 $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 则 $\cos B=2\sin B=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 根据诱导公式： $\sin (B+\frac{\pi }{2})=\cos B=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

故 $\sin (B+\frac{\pi }{2})$ 的值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式选择：已知角找对边用余弦；已知比例关系找边角转换用正弦。
2. 符号判断：在第(2)问中，由 $\cos B=2\sin B$ 且 $\sin B>0$（三角形内角正弦必为正）可以直接判定 $\cos B>0$，即 $B$ 为锐角，从而排除了负值。
3. 诱导公式记忆：$\sin (B+\frac{\pi }{2})$ 属于“奇变偶不变，符号看象限”，由于 $B$ 是三角形内角（$0<B<\pi$），$B+\pi /2$ 在第二或第三象限，但由于 $B$ 在本题是锐角，其在第二象限，正弦值为正，结果为 $\cos B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 统一为角：当题目出现 $\sin ,\cos$ 混合且有边长比例时，优先利用正弦定理化边为角。
• 统一为边：当题目涉及面积、周长或复杂的二次项时，优先利用余弦定理化角为边。
• 注意隐形条件：$A+B+C=\pi$ 以及 $a+b>c$ 等几何约束在复杂综合题中经常是解题钥匙。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2006-上海卷理-06 填-象限角的三角函数值符号
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式