2019-江苏卷-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）设 $x\in \mathbb{R}$，解不等式 $|x|+|2x-1|>2$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找零点：令 $x=0$ 和 $2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$。
2. 划分区间：根据零点将实数集分为 $(-\infty ,0)$，$[0,\frac{1}{2}]$，$(\frac{1}{2},+\infty )$ 三个区间。
3. 去绝对值：在每个区间内判断绝对值内部符号，去掉绝对值符号化为一元一次不等式。
4. 汇总解集：分别求出各区间下的解，最后取并集。

✅【答案】

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解集为 $\{x\mid x<-\frac{1}{3}\text{ 或 }x>1\}$。

✍【详细解析】

Abstract

解： 通过绝对值的零点 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 分三种情况讨论：

① 当 $x<0$ 时，原不等式可化为： $-x-(2x-1)>2⟹-3x+1>2⟹-3x>1$ 解得 $x<-\frac{1}{3}$。由于 $x<-\frac{1}{3}<0$，故此时解集为 $\{x|x<-\frac{1}{3}\}$。

② 当 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 时，原不等式可化为： $x-(2x-1)>2⟹-x+1>2⟹-x>1$ 解得 $x<-1$。这与前提条件 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 矛盾，故此区间内无解。

③ 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，原不等式可化为： $x+(2x-1)>2⟹3x-1>2⟹3x>3$ 解得 $x>1$。由于 $x>1>\frac{1}{2}$，故此时解集为 $\{x|x>1\}$。

综上所述：原不等式的解集为 $\{x|x<-\frac{1}{3}\text{ 或 }x>1\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分段不要重漏：端点值放在哪个区间通常不影响结果，但要保证覆盖全集。
2. 图像辅助：函数 $f(x)=|x|+|2x-1|$ 的图像是一个折线（“锅”形），通过观察 $y=f(x)$ 与 $y=2$ 的交点也可以快速验证答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-14 填-绝对值不等式解法
• 2009-山东卷理-13
• 2009-福建卷理-21C