2019-浙江卷-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）在二项式 $(\sqrt{2}+x{)}^9$ 的展开式中，常数项是 $\underline{}$；系数为有理数的项的个数是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式： 利用二项展开式公式 $(a+b{)}^n$ 的通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 这里 $a=\sqrt{2}$，$b=x$，$n=9$。 得出 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r(\sqrt{2}{)}^{9-r}{x}^r$，其中 $r\in \{0,1,2,\dots ,9\}$。
2. 求常数项： 常数项即 $x$ 的指数为 $0$ 的项，此时 $r=0$。代入通项公式计算具体数值。
3. 判定有理系数项： 系数部分为 ${\mathrm{C}}_9^r(\sqrt{2}{)}^{9-r}$。 要使该系数为有理数，则 $\sqrt{2}$ 的指数 $9-r$ 必须是 偶数。 由此列出符合条件的 $r$ 值，数出个数。

✅【答案】

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$16\sqrt{2}$ ； $5$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $16\sqrt{2}$ ； $5$

【解析过程】

第一步：写出通项公式 二项式 $(\sqrt{2}+x{)}^9$ 展开式的通项为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r(\sqrt{2}{)}^{9-r}{x}^r,r=0,1,2,\dots ,9$

第二步：求常数项 令 $x$ 的指数 $r=0$，得常数项为 $T_1$： $T_1={\mathrm{C}}_9^0(\sqrt{2}{)}^{9-0}=1\times (\sqrt{2}{)}^9$ 因为 $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$，所以： $(\sqrt{2}{)}^9=16\sqrt{2}$ 故常数项为 $16\sqrt{2}$。

第三步：求系数为有理数的项的个数 该项的系数为 $A={\mathrm{C}}_9^r(\sqrt{2}{)}^{9-r}$。 由于 ${\mathrm{C}}_9^r$ 永远是整数（有理数），故只需 $(\sqrt{2}{)}^{9-r}$ 为有理数。 这意味着指数 $9-r$ 必须能被 2 整除，即 $9-r$ 是偶数。 因为 9 是奇数，所以 $r$ 必须是 奇数。 在 $r\in \{0,1,2,\dots ,9\}$ 中，奇数有： $r=1,3,5,7,9$ 共有 5 个符合条件的 $r$ 值，对应的项分别是 $T_2,T_4,T_6,T_8,T_{10}$。 故系数为有理数的项共有 5 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通项公式的 $r$ 与第几项：一定要记住 $T_{r+1}$ 对应的是第 $r+1$ 项。例如 $r=0$ 是第一项。
2. 有理项 vs 有理系数项：

• 有理项：要求该项中不含根号，即变量 $x$ 的指数和常数部分的指数都要能抵消根号。
• 系数为有理数：仅看 $x^r$ 前面的那一堆数字是否为有理数。 本题中 $x$ 本身没有根号，所以这两个概念在这里是一致的。

3. 奇偶性分析：在处理 $(\sqrt{a}{)}^{n-r}$ 时，经常通过 $n-r$ 的奇偶性来筛选 $r$，这是此类填空题的固定套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，要区分这两个容易混淆的概念：

• 二项式系数：特指 ${\mathrm{C}}_n^r$，它只与 $n$ 和 $r$ 有关，始终是对称的（中间最大）。
• 项的系数：指 $x^r$ 前面所有的常数部分（包括 ${\mathrm{C}}_n^r$ 和 $a,b$ 中的数值部分）。
• 最大项问题：求系数最大的项时，通常使用 $\frac{a_{r+1}}{a_r}\ge 1$ 且 $\frac{a_{r+2}}{a_{r+1}}\le 1$ 列不等式组求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1993-旧高考理-15
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数