2019-浙江卷-14 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）在 $△ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=4$，$BC=3$。点 $D$ 在线段 $AC$ 上，若 $\angle BDC=45^{\circ }$，则 $BD=$ $\underline{}$；$\cos \angle ABD=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基础边角信息：

• 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$AB=4,BC=3$，由勾股定理得 $AC=5$。
• 得到 $\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$。

2. 求 $BD$（正弦定理）：

• 关注 $△ABD$。已知 $\angle BDC=45^{\circ }$，则其补角 $\angle ADB=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$。
• 在 $△ABD$ 中，应用正弦定理：$\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$。

3. 求 $\cos \angle ABD$：

• 方法一：利用三角形内角和 $\angle ABD=180^{\circ }-(A+\angle ADB)=180^{\circ }-(A+135^{\circ })=45^{\circ }-A$。
• 方法二：利用外角性质 $\angle BDC=A+\angle ABD⟹\angle ABD=45^{\circ }-A$。
• 使用两角差的余弦公式展开即可。

✅【答案】

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$\frac{12\sqrt{2}}{5}$ ； $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{12\sqrt{2}}{5}$ ； $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

【解析过程】

第一步：基础数据准备 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$AB=4,BC=3$，则 $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。 由此可知：$\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5}$。

第二步：计算 $BD$ 在 $△ABD$ 中，因为点 $D$ 在 $AC$ 上，且 $\angle BDC=45^{\circ }$， 所以 $\angle ADB=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$。 由正弦定理得： $\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin 135^{\circ }}$ $BD=\frac{4\times \frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12}{5}\times \sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{5}$

第三步：计算 $\cos \angle ABD$ 观察 $△ABD$，由三角形外角定理可知： $\angle BDC=\angle A+\angle ABD$ 即 $45^{\circ }=A+\angle ABD⟹\angle ABD=45^{\circ }-A$。 利用两角差的余弦公式： $\cos \angle ABD=\cos (45^{\circ }-A)=\cos 45^{\circ }\cos A+\sin 45^{\circ }\sin A$ $\cos \angle ABD=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{3}{5}$ $\cos \angle ABD=\frac{4\sqrt{2}}{10}+\frac{3\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$

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💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 角关系的转化：本题最巧妙的地方在于利用外角关系 $\angle ABD=45^{\circ }-A$。很多同学会尝试在 $△ABD$ 中用余弦定理求 $AD$ 再求角，计算量会大很多。
2. 特殊角的正弦值：$\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，遇到复杂的三角形嵌套问题，可以尝试以下角度逻辑：

• 补角转换：$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$。
• 外角平移：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。这常用于将未知角转化为已知角的差。
• 建系法：对于已知垂直关系明显的题目（如本题），以 $B$ 为原点建立坐标系，通过点 $D$ 在直线 $AC$ 上且与 $B$ 连线斜率满足 $\tan$ 关系来解，也是一种非常稳健的备选方案。!

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理
• 2007-重庆卷理-05 单-特殊角三角函数值
• 2010-广东卷文-13 填-正弦定理内角和