2020-上海卷-02 填-数列极限

本题导读

本题考查数列极限的计算，以及分式数列极限的求法。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）计算：${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{3n-1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析特征：这是一个分子和分母均为 $n$ 的一次多项式的分式数列极限。
2. 确定策略：当 $n\to \infty$ 时，多项式的常数项可以忽略不计，极限值由最高次项的系数之比决定。

✅【答案】

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1/3

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分子分母同除以 $n$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{3n-1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{3n}{n}-\frac{1}{n}}$ $={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}}{3-\frac{1}{n}}$ 由于 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$， 原式 $=\frac{1+0}{3-0}=\frac{1}{3}$。

方法二：最高次项系数法（口算法） 分子最高次项为 $n$，系数为 $1$； 分母最高次项为 $3n$，系数为 $3$； 因为次数相同，所以极限值为系数之比 $\frac{1}{3}$。

最终答案为：1/3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 收敛判断：只要分母不为 0 且次数不低于分子次数，此类分式极限必收敛。
2. 避坑指南：注意符号，如果分母是 $-3n$，结果则为 $-1/3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于分式数列 $\frac{P(n)}{Q(n)}$，若 $P$ 和 $Q$ 次数相等，极限为最高次系数比；若分母次数高，极限为 0；若分子次数高，极限为 $\infty$。
• 方法的推广:
  • 这种“提取公因式法”是处理所有无穷大比无穷大（$\frac{\infty }{\infty }$）型不定式的核心手段。
• 相关知识点:
  • 函数极限：${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+1}{3x-1}$ 的道理完全一致。
  • 等比数列极限：若公比 $|q|<1$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-14 填-数列的极限
• 1987-全国卷理-12 填-数列的极限
• 1989-全国卷理-05 单-等比数列与极限