2020-上海卷-15 单-线面交点判定

本题导读

本题考查空间直角坐标系，以及直线的向量参数方程。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）在棱长为 10 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P$ 为左侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 上一点，已知点 $P$ 到 $A_1{D}_1$ 的距离为 3，$P$ 到 $A{A}_1$ 的距离为 2，则过点 $P$ 且与 $A_{1}C$ 平行的直线相交的面是（ ）

A. $A{A}_1{B}_{1}B$　　　　B. $B{B}_1{C}_{1}C$　　　　C. $C{C}_1{D}_{1}D$　　　　D. $ABCD$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
2. 确定关键点坐标：根据正方体棱长为 10，确定 $A_1,C$ 的坐标，从而得出方向向量 $\vec{v}=\overrightarrow{A_{1}C}$。
3. 确定点 $P$ 坐标：$P$ 在平面 $yOz$ 上。利用到两边的距离确定其 $y$（到 $A{A}_1$ 的距离）和 $z$（到 $A_1{D}_1$ 的距离）分量。
4. 列出直线方程：写出过 $P$ 且以 $\vec{v}$ 为方向向量的直线参数方程。
5. 判定交面：分别检验直线与各个侧面及底面方程（如 $x=10,y=10$ 等）的交点，看交点坐标是否落在该正方形面上（坐标范围在 $[0,10]$ 内）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系与点定位 建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 则 $A(0,0,0),B(10,0,0),D(0,10,0),A_1(0,0,10),C(10,10,0)$。 方向向量 $\vec{v}=\overrightarrow{A_{1}C}=(10-0,10-0,0-10)=(10,10,-10)$。 简化方向向量为 $\vec{u}=(1,1,-1)$。

第二步：确定点 $P$ 坐标 点 $P$ 在左侧面 $AD{D}_1{A}_1$（即 $x=0$ 平面）内。

• $P$ 到 $A{A}_1$（$z$ 轴）的距离为 2 $⟹y_P=2$。
• $P$ 到 $A_1{D}_1$（直线 $z=10,x=0$）的距离为 3 $⟹10-z_P=3⟹z_P=7$。 故 $P$ 点坐标为 $(0,2,7)$。

第三步：写出直线参数方程 设直线 $l$ 上的动点为 $M(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}x=0+t=t\\ y=2+t\\ z=7-t\end{array}$

第四步：检验各面交点

• 检验面 $B{B}_1{C}_{1}C$（平面 $x=10$）： 令 $x=10⟹t=10$。 代入得 $y=12,z=-3$。 因为 $y>10,z<0$，交点不在该正方形面内，排除 B。
• 检验面 $C{C}_1{D}_{1}D$（平面 $y=10$）： 令 $y=10⟹2+t=10⟹t=8$。 代入得 $x=8,z=7-8=-1$。 因为 $z<0$，交点不在该正方形面内，排除 C。
• 检验面 $ABCD$（平面 $z=0$）： 令 $z=0⟹7-t=0⟹t=7$。 代入得 $x=7,y=2+7=9$。 由于 $x\in [0,10]$ 且 $y\in [0,10]$，交点 $(7,9,0)$ 恰好落在正方形 $ABCD$ 内。 符合条件 D。

最终答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标法的威力：立体几何中的平行、垂直及相交问题，在建立坐标系后转化为代数运算，极大地降低了空间想象难度。
2. 范围判定：直线与“面”相交不代表与“正方形区域”相交。必须检查交点的三个坐标是否都在 $[0,\text{棱长}]$ 范围内。
3. 上海卷特色：这类题型考查对空间位置关系的定性理解与定量验证的平衡，是中档题的典型代表。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 若直线方向向量三个分量均不为 0，则该直线必与正方体互不平行的三个面（或其延长面）相交。
• 方法的推广:
  • 向量参数方程法：这是处理空间直线与复杂几何体相交问题的通用模板。通过调节参数 $t$ 的取值，可以遍历直线上的所有点。
• 相关知识点:
  • 线面平行：若直线方向向量与平面的法向量数量积为 0，则线面平行。
  • 投影性质：点 $P$ 到各棱的距离实际上就是该点坐标在对应坐标轴上的射影。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理
• 2002-新课标理-18甲 解-正三棱柱的几何性质
• 2004-全国卷II理-20 解-线面垂直