2020-上海卷-16 单-量词与存在性

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及函数的单调性与不等式。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）命题 $p$：存在 $a\in \mathbb{R}$ 且 $a\ne 0$，对于任意的 $x\in \mathbb{R}$，使得 $f(x+a)<f(x)+f(a)$； 命题 $q_1$：$f(x)$ 单调递减且 $f(x)>0$ 恒成立； 命题 $q_2$：$f(x)$ 单调递增，存在 $x_0<0$ 使得 $f(x_0)=0$； 则下列说法正确的是（ ）

A. 只有 $q_1$ 是 $p$ 的充分条件　　B. 只有 $q_2$ 是 $p$ 的充分条件

C. $q_1,q_2$ 都是 $p$ 的充分条件　　D. $q_1,q_2$ 都不是 $p$ 的充分条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解命题 $p$ 的本质：$p$ 要求找到一个非零常数 $a$，使得函数满足一种类似于“次可加性”的不等式 $f(x+a)-f(x)<f(a)$。
2. 分析 $q_1$ 是否能推导出 $p$：

• 若 $f(x)$ 减且 $f(x)>0$，考虑 $f(x+a)-f(x)$ 的正负。
• 若取 $a>0$，由单调性知 $f(x+a)<f(x)$，则 $f(x+a)-f(x)<0$。而 $f(a)>0$，不等式显然成立。

3. 分析 $q_2$ 是否能推导出 $p$：

• 若 $f(x)$ 增且有负根 $x_0$，需判断是否存在某个 $a\ne 0$ 满足条件。
• 考虑线性函数或指数函数模型，通过具体的 $a$ 取值进行验证。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 $q_1⟹p$ 已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减且 $f(x)>0$。 取任意 $a>0$。 因为 $f(x)$ 单调递减，所以对于任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $x+a>x⟹f(x+a)<f(x)$。 从而 $f(x+a)-f(x)<0$。 又已知 $f(x)>0$ 恒成立，故 $f(a)>0$。 显然有 $f(x+a)-f(x)<0<f(a)$，即 $f(x+a)<f(x)+f(a)$ 恒成立。 由于找到了存在的 $a$（任意正数均可），故 $q_1⟹p$。

第二步：判定 $q_2⟹p$ 已知 $f(x)$ 单调递增，且 $f(x_0)=0$ ($x_0<0$)。 取 $a=x_0$。此时 $a\ne 0$ 且 $f(a)=f(x_0)=0$。 命题 $p$ 的不等式变为：$f(x+a)<f(x)+0$。 由于 $f(x)$ 单调递增且 $a=x_0<0$， 则对于任意 $x$，有 $x+a<x⟹f(x+a)<f(x)$。 不等式 $f(x+a)<f(x)+f(a)$ 恒成立。 由于找到了存在的 $a$（即该负根 $x_0$），故 $q_2⟹p$。

第三步：综合结论 因为从 $q_1$ 能推导出 $p$，从 $q_2$ 也能推导出 $p$， 所以 $q_1,q_2$ 都是 $p$ 的充分条件。

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 充分条件的判定：若 $q⟹p$，则 $q$ 是 $p$ 的充分条件。解题核心是“以 $q$ 为已知条件去证明 $p$”。
2. 存在性逻辑：命题 $p$ 只要能找到一个符合要求的 $a$ 即可。在处理单调性相关的抽象不等式时，利用 $a$ 的正负结合单调性控制 $f(x+a)-f(x)$ 的符号是常用技巧。
3. 易错点：很多学生会习惯性地认为“次可加性”只与凸凹性有关，从而忽略了单调性和正负号带来的直接不等关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 詹森不等式（Jensen’s Inequality）：若 $f(x)$ 为凸函数，则 $f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$。本题中的不等式 $f(x+a)<f(x)+f(a)$ 在 $f(0)=0$ 的前提下与凸性（凹向）有深刻联系。
• 方法的推广:
  • 特值法与模型法：对于抽象函数选择题，构造符合条件的具体函数（如 $f(x)=e^{-x}$ 满足 $q_1$，$f(x)=x-x_0$ 满足 $q_2$）可以极大加快解题速度。
• 相关知识点:
  • 柯西函数方程：满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 的连续函数必为正比例函数。本题实质上考查偏离该平衡态的性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 1987-全国卷理-04 单-充分条件与必要条件