2020-上海卷-19 解-函数模型应用

本题导读

本题考查分段函数的应用。核心在于分段讨论法、代数代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度。现定义交通流量为 $v=\frac{q}{x}$，$x$ 为道路密度，$q$ 为车辆密度。 $v=f(x)=\{\begin{array}{ll}100-135\cdot (\frac{1}{3}{)}^x,& 0<x<40\\ -k(x-40)+85,& 40\le x\le 80\end{array}$

（1）若交通流量 $v>95$，求道路密度 $x$ 的取值范围；

（2）已知道路密度 $x=80$，交通流量 $v=50$，求车辆密度 $q$ 的最大值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（不等式）：

• 观察 $v>95$，首先确定 $v$ 可能在哪个分段内。
• 对应第一段 $100-135\cdot (\frac{1}{3}{)}^x>95$，解指数不等式。
• 对应第二段，若要满足条件，需看参数 $k$ 的情况，但通常题目中若未给 $k$，第一段即能满足。

2. 第二问（最值与参数）：

• 首先利用 $x=80,v=50$ 求出参数 $k$。
• 车辆密度 $q=v\cdot x=x\cdot f(x)$。
• 求 $q$ 的最大值，需要对分段函数 $x\cdot f(x)$ 在整个定义域 $(0,80]$ 上进行最值分析。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{28800}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求道路密度 $x$ 的取值范围 当 $0<x<40$ 时： $100-135\cdot (\frac{1}{3}{)}^x>95$ $135\cdot (\frac{1}{3}{)}^x<5$ $(\frac{1}{3}{)}^x<\frac{5}{135}=\frac{1}{27}$ $(\frac{1}{3}{)}^x<(\frac{1}{3}{)}^3$ 因为 $y=(\frac{1}{3}{)}^x$ 是减函数，所以 $x>3$。 结合该段范围，得 $3<x<40$。

当 $40\le x\le 80$ 时： 由 $v=f(x)$ 的连续性（通常此类模型在分点处连续），当 $x=40$ 时，$f(40)=100-135\cdot (\frac{1}{3}{)}^{40}\approx 100$，而此时第二段 $f(40)=85$。 纠错注：观察原图，$x=40$ 时 $v$ 的突变说明流量在此时下降。 在 $40\le x\le 80$ 段，$v=-k(x-40)+85\le 85$，显然无法大于 95。 故 $x$ 的取值范围为 $(3,40)$。

（2）求车辆密度 $q$ 的最大值 首先确定 $k$： 当 $x=80$ 时，$v=50$，代入第二段解析式： $50=-k(80-40)+85⟹40k=35⟹k=\frac{7}{8}$。 则 $f(x)=\{\begin{array}{ll}100-135\cdot (\frac{1}{3}{)}^x,& 0<x<40\\ -\frac{7}{8}(x-40)+85,& 40\le x\le 80\end{array}$

车辆密度 $q(x)=x\cdot f(x)$：

1. 当 $0<x<40$ 时： $q(x)=100x-135x\cdot (\frac{1}{3}{)}^x$。 由于 $(\frac{1}{3}{)}^x$ 随 $x$ 增大极快减小，此项在 $x$ 较大时近乎 0，$q(x)$ 呈现递增趋势。 当 $x\to 40$ 时，$q(x)\approx 4000$。
2. 当 $40\le x\le 80$ 时： $q(x)=x[-\frac{7}{8}(x-40)+85]=x[-\frac{7}{8}x+35+85]=-\frac{7}{8}{x}^2+120x$。 这是一个开口向下的二次函数。 其对称轴为 $x=-\frac{120}{2\cdot (-7/8)}=\frac{120\cdot 4}{7}\approx 68.57$。 因为 $68.57\in [40,80]$，所以最大值在对称轴处取得。 $q_{max}=q(\frac{480}{7})=-\frac{7}{8}\cdot (\frac{480}{7}{)}^2+120\cdot \frac{480}{7}$ $q_{max}=-\frac{480^2}{8\cdot 7}+\frac{480^2}{4\cdot 7}=\frac{480^2}{8\cdot 7}=\frac{230400}{56}=\frac{28800}{7}\approx 4114.29$。

比较两段：第一段最大值小于 4000，第二段最大值 $\approx 4114.29$。 故 $q$ 的最大值为 $\frac{28800}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 指数不等式：解题关键是底数与 1 的大小关系。底数 $\frac{1}{3}<1$ 时，去掉底数需不等号反向。
2. 二次函数最值：在闭区间上求二次函数最值，必须优先判定对称轴是否在区间内。
3. 上海卷特色：上海应用题往往涉及多个变量（$v,q,x$），考查学生通过定义进行式子转换的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 这种 $v=f(x)$ 的交通流模型（Greenshields模型变体）反映了交通流在密度较低时流量随密度增加，当达到“饱和密度”后因拥堵导致流量下降。
• 方法的推广:
  • 分段函数统一法：在处理分段函数应用题时，建议将每一段的目标函数（如本题的 $q$）解析式写出，并在同一坐标系下分析其单调性与连续性。
• 相关知识点:
  • 边际分析：在经济学或物理学中，$q=vx$ 的形式类似总产量等于平均产量乘以投入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法
• 2008-天津卷理-08