2020-全国卷I文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-2\le 0,\\ x-y-1\ge 0,\\ y+1\ge 0,\end{array}$ 则 $z=x+7y$ 的最大值为_____.

🔍【思路分析】

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1. 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域。
2. 将目标函数 $z=x+7y$ 转化为直线方程，观察斜率。
3. 找出可行域的各个顶点，代入目标函数比较大小，求出最大值。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

画出约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-2\le 0\\ x-y-1\ge 0\\ y+1\ge 0\end{array}$ 对应的可行域。 三条边界直线的交点（顶点）分别为： 由 $\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ y+1=0\end{array}$ 得交点 $A(0,-1)$； 由 $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ y+1=0\end{array}$ 得交点 $B\left(\frac{3}{2},-1\right)$； 由 $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ x-y-1=0\end{array}$ 相比相加得 $3x=3⟹x=1,y=0$，得交点 $C(1,0)$。 将顶点坐标依次代入目标函数 $z=x+7y$： 在点 $A(0,-1)$ 处：$z=0+7(-1)=-7$； 在点 $B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 处：$z=\frac{3}{2}+7(-1)=-\frac{11}{2}$； 在点 $C(1,0)$ 处：$z=1+7(0)=1$. 因此，目标函数的最大值为 $1$。 故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：准确作图、求出交点坐标、顶点代入法。
3. 避坑指南：作图时务必找准各条直线的截距与交点，避免遗漏边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规基础题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-14 填-线性规划求最值
• 2005-山东卷文-15 填-线性规划最值点
• 2005-江西卷文-14 填-比值型线性规划