2020-全国卷I文-14 填-向量垂直

本题导读

本题考查平面向量垂直的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）设向量 $\mathbf{a}=(1,-1),\mathbf{b}=(m+1,2m-4)$, 若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$, 则 $m=$ _____.

🔍【思路分析】

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1. 根据两向量垂直的充要条件：数量积为零（$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$）。

2. 代入坐标列出关于 $m$ 的方程并求解。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(1,-1),\mathbf{b}=(m+1,2m-4)$ 且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，

所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times (m+1)+(-1)\times (2m-4)=0$.

展开化简得：

$m+1-2m+4=0$

$-m+5=0⟹m=5$.

故答案为：$5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的坐标运算。

2. 核心方法：$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$.

3. 避坑指南：注意负号分配，避免代入时符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考平面向量基础计算题。

2. 结论推广：两向量垂直的坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 是处理向量垂直问题的首选方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-19 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2006-全国卷II理-17 解-三角函数的最值求解

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算