2020-全国卷I文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于求导符号判定法、分离参数与数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x-a(x+2)$.

(1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：代入 $a=1$，求导数 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-1$，根据导数符号判断函数的单调区间。
2. 第(2)问：将零点问题转化为方程 ${\mathrm{e}}^x=a(x+2)$，即 $a=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+2}$ 的根的个数问题，通过构造辅助函数求导研究其单调性与极值。

✅【答案】

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$x=-2$ 不是根，因此 $x\ne -2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=1$ 时，$f(x)={\mathrm{e}}^x-x-2$. 其导数为 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-1$. 令 $f^{\prime }(x)>0⟹{\mathrm{e}}^x>1⟹x>0$； 令 $f^{\prime }(x)<0⟹{\mathrm{e}}^x<1⟹x<0$. 因此，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

(2) $f(x)=0$ 有两个零点，即方程 ${\mathrm{e}}^x=a(x+2)$ 有两个不等实根。 当 $x=-2$ 时，左边 ${\mathrm{e}}^{-2}>0$，右边为 $0$，故 $x=-2$ 不是根，因此 $x\ne -2$. 方程可化为 $a=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+2}$. 构造函数 $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+2}$ （$x\ne -2$），则求 $a$ 的取值范围等价于求直线 $y=a$ 与曲线 $y=g(x)$ 有两个交点。 求导得： $g^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(x+2)-{\mathrm{e}}^x\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x(x+1)}{(x+2{)}^2}$. 令 $g^{\prime }(x)=0⟹x=-1$. 当 $x<-1$ 且 $x\ne -2$ 时，$g^{\prime }(x)<0$；当 $x>-1$ 时，$g^{\prime }(x)>0$. 故 $g(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(-2,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,+\infty )$ 上单调递增。 在 $x=-1$ 处取得极小值 $g(-1)=\frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{-1+2}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. 当 $x\to -2^{-}$ 时，$g(x)\to -\infty$；当 $x\to -2^{+}$ 时，$g(x)\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$g(x)\to +\infty$. 结合函数图象可知，要使 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点，必须满足 $a>g(-1)$，即 $a>\frac{1}{\mathrm{e}}$. 因此，$a$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性、函数零点与方程根的关系、分离参数法。
2. 核心方法：转化法（分离参数 $a=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+2}$），借助导数研究函数图象。
3. 避坑指南：分离参数时注意验证分母不为零的点（$x=-2$），并结合极限分析渐近线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数压轴题中的经典题型。
2. 结论推广：形如 ${\mathrm{e}}^x=k(x+m)$ 的零点问题，分离参数结合导数是通用且高效的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 2003-上海卷理-10