2020-全国卷I理-09 单-同角三角函数

本题导读

本题考查二倍角公式，以及一元二次方程的解法。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）9. 已知 $\alpha \in (0,\pi )$，且 $3\cos 2\alpha -8\cos \alpha =5$，则 $\sin \alpha =$（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一函数名： 方程中同时含有 $\cos 2\alpha$ 和 $\cos \alpha$。利用二倍角公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 将方程全部转化为关于 $\cos \alpha$ 的形式。

2. 求解二次方程： 整理方程得到关于 $\cos \alpha$ 的一元二次方程，利用十字相乘法或求根公式求解。注意根据余弦函数的值域 $[-1,1]$ 舍去不合理的解。

3. 求正弦值： 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 计算 $\sin \alpha$。 注意范围：由于 $\alpha \in (0,\pi )$，在该范围内 $\sin \alpha$ 恒为正值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 代入公式转化： 由 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 代入原方程得： $3(2{\cos }^2\alpha -1)-8\cos \alpha =5$ $6{\cos }^2\alpha -3-8\cos \alpha -5=0$ $6{\cos }^2\alpha -8\cos \alpha -8=0$

2. 化简并求解： 两边同除以 2 得：$3{\cos }^2\alpha -4\cos \alpha -4=0$。 因式分解得：$(3\cos \alpha +2)(\cos \alpha -2)=0$。 解得 $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ 或 $\cos \alpha =2$（舍去，因为 $|\cos \alpha |\le 1$）。

3. 计算 $\sin \alpha$： 因为 $\alpha \in (0,\pi )$，所以 $\sin \alpha >0$。 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 二倍角公式的选择： $\cos 2\alpha$ 有三个变形公式：
  • $2{\cos }^2\alpha -1$（本题使用，用于统一为 $\cos \alpha$）
  • $1-2{\sin }^2\alpha$
  • ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 根据已知项的类型灵活选择。
• 解的合理性检查： 三角函数求方程解时，务必检查值域限制以及题目给出的角度范围。
• 符号判定： 在开平方求 $\sin \alpha$ 时，必须结合 $\alpha$ 所在的象限确定正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是 $\tan \alpha$ 或者是 $\tan \frac{\alpha }{2}$，我们可以在求得 $\cos \alpha =-2/3$ 和 $\sin \alpha =\sqrt{5}/3$ 后直接相除，或者利用万能公式进行转化。在高考中，这类题目也常作为大题的第一问出现，用于考查基础运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2009-陕西卷理-05
• 2011-重庆卷理-14