2020-全国卷I理-18 解-立几二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定定理。核心在于几何计算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）18. 如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$AE$ 为底面直径，$AE=AD$。$△ABC$ 是底面的内接正三角形，$P$ 为 $DO$ 上一点，$PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO$。

（1）证明：$PA\perp$ 平面 $PBC$；

（2）求二面角 $B-PC-E$ 的余弦值。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证明线面垂直：

• 目标： 证明 $PA\perp PB$ 且 $PA\perp PC$。
• 计算长度： 设 $OA=R$（或设 $AE=1$ 进行参数化）。由于 $AE=AD$，$△DAE$ 是等边三角形，从而求出高 $DO$。
• 利用勾股定理逆定理： 分别计算 $PA,PB,AB$ 的长度。若满足 $P{A}^2+P{B}^2=A{B}^2$，则 $PA\perp PB$。同理证明 $PA\perp PC$。

（2）求二面角：

• 建系： 以 $O$ 为原点，$OA$ 所在直线为 $x$ 轴，$DO$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 坐标转化： 根据正三角形和圆的性质确定 $A,B,C,E,P$ 各点坐标。
• 向量计算： 求出平面 $PBC$ 和平面 $PCE$ 的法向量 $\vec{n}$ 与 $\vec{m}$。
• 公式求解： 利用 $|\cos \theta |=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{m}|}$，并结合图形判断二面角的真假。

✅【答案】

点击查看答案

可取平面 $PBC$ 的一个法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{PA}=(1,0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$PA\perp$ 平面 $PBC$ 设底面半径 $OA=R$，则直径 $AE=2R$。 因为 $AD=AE=2R$，在 $Rt△DOA$ 中，$DO=\sqrt{A{D}^2-O{A}^2}=\sqrt{(2R{)}^2-R^2}=\sqrt{3}R$。 由题意，$PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO=\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \sqrt{3}R=\frac{\sqrt{2}}{2}R$。 在 $Rt△POA$ 中，$P{A}^2=P{O}^2+O{A}^2=\frac{1}{2}{R}^2+R^2=\frac{3}{2}{R}^2$。 在 $Rt△POB$ 中，$P{B}^2=P{O}^2+O{B}^2=\frac{1}{2}{R}^2+R^2=\frac{3}{2}{R}^2$。 在等边 $△ABC$ 中，$AB=\sqrt{3}R⟹A{B}^2=3R^2$。 因为 $P{A}^2+P{B}^2=\frac{3}{2}{R}^2+\frac{3}{2}{R}^2=3R^2=A{B}^2$，所以 $PA\perp PB$。 同理，在 $Rt△POC$ 中可得 $P{C}^2=\frac{3}{2}{R}^2$，满足 $P{A}^2+P{C}^2=A{C}^2=3R^2$，故 $PA\perp PC$。 由于 $PB\cap PC=P$，且 $PB,PC\subset$ 平面 $PBC$， 所以 $PA\perp$ 平面 $PBC$。

（2）求二面角 $B-PC-E$ 的余弦值

以 $O$ 为原点，$OA$ 方向为 $x$ 轴正方向，$DO$ 方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设 $R=1$，则各点坐标为： $A(1,0,0),E(-1,0,0),P(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}),B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0),C(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。

• 平面 $PBC$ 的法向量： 由（1）知 $PA\perp$ 平面 $PBC$，故可取平面 $PBC$ 的一个法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{PA}=(1,0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
• 平面 $PCE$ 的法向量 $\vec{m}=(x,y,z)$： $\overrightarrow{PE}=(-1,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}),\overrightarrow{CE}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{PE}=-x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\end{array}$，取 $x=\sqrt{3}$，得 $y=1,z=-\sqrt{6}$。 则 $\vec{m}=(\sqrt{3},1,-\sqrt{6})$。
• 计算余弦值： $\cos ⟨\vec{n},\vec{m}⟩=\frac{\sqrt{3}+0+\sqrt{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{3+1+6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 由图可知，二面角 $B-PC-E$ 为锐角，故其余弦值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线面垂直的技巧： 当题目给出较多长度关系且不易直接找平行/垂直关系时，勾股定理逆定理是强力武器。
• 坐标系的选取： 圆锥、圆柱类题目通常以底面中心为原点。注意正三角形顶点在圆上的坐标表示：$B(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })$。
• 二面角的判断： 向量法求出的是法向量夹角的余弦值，最终结果的正负需要结合图形观察是钝角还是锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求 $P$ 点到直线 $BC$ 的距离，由于已知 $PA\perp$ 平面 $PBC$，可以利用三垂线定理或者空间向量投影法快速求解。在准备解答题时，建议对这种“建系+算向量”的固定流程进行限时训练。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角