2020-全国卷I理-19 解-概率综合

本题导读

本题考查独立事件的概率乘法公式。核心在于列举法、对称性分析的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为 1/2。

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）甲连胜四场： 甲必须在第 1 场（对乙）、第 2 场（对丙）、第 3 场（对乙/丙）、第 4 场（对乙/丙）全胜。每场胜率为 1/2，直接相乘。

（2）需要进行第五场： 间接法： 1 - (四场及以内结束比赛的概率)。 四场结束意味着某两人各负两场。由于每场必有一负，四场总计产生四个负场，若要淘汰两人，必然是其中两人各负两场（如甲负2场且乙负2场）。

（3）丙获胜概率：

• 对称性： 甲、乙首先比赛，地位完全平等。故 $P(甲胜)=P(乙胜)$。
• 计算 $P(甲胜)$： 列举出甲最终获胜的所有比赛序列（负场不超过1）。
• 求丙： $P(丙胜)=1-2P(甲胜)$。

✅【答案】

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所求概率为 $P=(\frac{1}{2}{)}^4=\frac{1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求甲连胜四场的概率 记每场比赛甲胜为事件 $W$，甲连胜四场意味着前四场比赛的结果均为甲胜。 由于每场比赛获胜概率均为 $1/2$，且各场比赛结果相互独立。 故所求概率为 $P=(\frac{1}{2}{)}^4=\frac{1}{16}$。

（2）求需要进行第五场比赛的概率 记每场比赛的负者。前四场比赛负者的序列可能为： 若四场结束比赛，则必须有两人各负两场。 可能的负者序列（需符合赛制轮空逻辑）：

1. 乙、丙、乙、丙（此时乙丙各负2场，甲获胜）
2. 乙、甲、乙、甲（此时乙甲各负2场，丙获胜）
3. 甲、丙、甲、丙（此时甲丙各负2场，乙获胜）
4. 甲、乙、甲、乙（此时甲乙各负2场，丙获胜） 这四种情况概率均为 $(\frac{1}{2}{)}^4=\frac{1}{16}$。 四场内结束的概率为 $4\times \frac{1}{16}=\frac{1}{4}$。 故需要进行第五场比赛的概率 $P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

（3）求丙最终获胜的概率 由于甲、乙首先比赛，两人地位对称，故 $P(甲获胜)=P(乙获胜)$。 甲获胜的情况（记负者序列）：

• 4场结束： (乙, 丙, 乙, 丙)，概率为 $1/16$。
• 5场结束： - (甲, 丙, 乙, 丙, 乙)

• (乙, 丙, 甲, 丙, 乙)
• (乙, 甲, 丙, 乙, 丙) —— 此类共 7 种路径。 通过详尽列举或逻辑推导，甲获胜的基本事件概率之和为： $P(甲获胜)=\frac{1}{16}+7\times (\frac{1}{2}{)}^5=\frac{2}{32}+\frac{7}{32}=\frac{9}{32}$。 因此，丙获胜的概率为： $P(丙获胜)=1-2\times \frac{9}{32}=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性的妙用： 在三方博弈且初始条件对称的情况下，先求一方概率再利用 $1-2P$ 是最稳妥的策略。
• 列举的严谨性： 这种题目最怕漏掉路径。建议在草稿纸上画树状图，分支代表胜负，终点代表淘汰。
• 规则陷阱： 注意“累计负两场淘汰”和“胜者对轮空者”这两个条件的耦合。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果每场比赛胜率不等（如甲对丙胜率 $p$），则对称性失效，必须通过全概率公式或分步计算每一支路径。对于此类“赛制类”题目，建立清晰的比赛进程模型比单纯套用公式更重要。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-江苏卷-17
• 2006-四川卷理-18 解-对立事件的概率应用
• 2011-广东卷理-06