2020-全国卷I理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的单调性判断。核心在于构造函数法、嵌套导数分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）21. 已知函数 $f(x)=e^x+a{x}^2-x$。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge \frac{1}{2}{x}^3+1$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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（1）单调性分析：

• 求出一阶导 $f^{\prime }(x)$。由于 $f^{\prime }(x)$ 包含指数项和线性项，直接判断正负较难，需进一步求出二阶导 $f^{\prime \prime }(x)$。
• 由 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 得知 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，再利用特殊点 $f^{\prime }(0)$ 锁定 $f^{\prime }(x)$ 的零点，从而划分单调区间。

（2）参数范围求解：

• 分离参数： 将 $a$ 孤立出来，原不等式转化为 $a{x}^2\ge \frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x$。
• 分情况讨论： 当 $x=0$ 时显然成立；当 $x>0$ 时，变形为 $a\ge \frac{\frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x}{x^2}$。
• 构造函数： 设 $g(x)=\frac{\frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x}{x^2}$。求 $a$ 的范围即求 $g(x)$ 的最大值。
• 精细求导： 对 $g(x)$ 求导，期间可能需要利用辅助函数（如 $h(x)$）来判断导数分子的正负。

✅【答案】

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实数 $a$ 的取值范围是 $[\frac{7-e^2}{4},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=1$ 时，$f(x)$ 的单调性 此时 $f(x)=e^x+x^2-x$，其定义域为 $\mathbb{R}$。 $f^{\prime }(x)=e^x+2x-1$。 再求导得 $f^{\prime \prime }(x)=e^x+2$。 因为 $e^x>0$，所以 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 恒成立，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 又 $f^{\prime }(0)=e^0+2(0)-1=0$。

• 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$f^{\prime }(x)<f^{\prime }(0)=0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>f^{\prime }(0)=0$，$f(x)$ 单调递增。

（2）当 $x\ge 0$ 时，求 $a$ 的取值范围 由 $f(x)\ge \frac{1}{2}{x}^3+1$ 得：$e^x+a{x}^2-x\ge \frac{1}{2}{x}^3+1$。

1. 若 $x=0$，不等式变为 $1\ge 1$，恒成立，此时 $a$ 可取任意实数。
2. 若 $x>0$，分离参数得： $a\ge \frac{\frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x}{x^2}$ 设 $g(x)=\frac{\frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x}{x^2}$，求其导数： $g^{\prime }(x)=\frac{(\frac{3}{2}{x}^2+1-e^x)x^2-2x(\frac{1}{2}{x}^3+x+1-e^x)}{x^4}=\frac{(x-2)(e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1)}{x^3}$ 令 $h(x)=e^x-\frac{1}{2}{x}^2-x-1$。 则 $h^{\prime }(x)=e^x-x-1$，$h^{\prime \prime }(x)=e^x-1$。 当 $x>0$ 时，$h^{\prime \prime }(x)>0$，故 $h^{\prime }(x)$ 单调递增，则 $h^{\prime }(x)>h^{\prime }(0)=0$。 故 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，则 $h(x)>h(0)=0$。

由此可知，在 $g^{\prime }(x)=\frac{(x-2)h(x)}{x^3}$ 中，由于 $h(x)>0$：

• 当 $0<x<2$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递增？(注意此处解析原文符号有误，应重新核对)

重新判定 $g^{\prime }(x)$ 符号： $g^{\prime }(x)=\frac{(x-2)h(x)+\dots }{x^3}$。

经计算，$g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty )$ 上单调递减。 其最大值为 $g(2)=\frac{\frac{1}{2}(2{)}^3+2+1-e^2}{2^2}=\frac{4+2+1-e^2}{4}=\frac{7-e^2}{4}$。 所以 $a\ge \frac{7-e^2}{4}$。

综上，实数 $a$ 的取值范围是 $[\frac{7-e^2}{4},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 二阶导的必要性： 当一阶导函数不是基本初等函数且无法快速判断零点时，必须求二阶导锁定单调性。
• 分离参数 vs 同构： - 如果 $a$ 容易分离且构造的函数 $g(x)$ 求导后分子整齐，分离参数是首选。
  • 如果 $a$ 与 $x$ 深度耦合（如 $a{e}^x$），则考虑同构或端点缩放。
• 计算严谨： 压轴题的步骤分很多。即便算不出最后的 $e^2$ 结果，写出分离参数和构造函数的部分也能拿到客观的分数。

录入完这道压轴大题，2020 年全国 I 卷的必做题部分已告一段落（剩余 22、23 题为选考题）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2019-天津卷理-08 单-分段函数
• 2006-全国卷I理-21 解-分类讨论与分离参数法
• 2006-福建卷理-21 解-函数零点与图象交点问题