2020-全国卷II文-10 单-函数单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）设函数 $f(x)=x^3-\frac{1}{x^3}$, 则 $f(x)$ ( )

A. 是奇函数, 且在 $(0,+\infty )$ 单调递增

B. 是奇函数, 且在 $(0,+\infty )$ 单调递减

C. 是偶函数, 且在 $(0,+\infty )$ 单调递增

D. 是偶函数, 且在 $(0,+\infty )$ 单调递减

🔍【思路分析】

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1. 验证函数的定义域及 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系判定奇偶性。
2. 求导数 $f^{\prime }(x)$，根据导数符号判断在 $(0,+\infty )$ 上的单调性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=x^3-\frac{1}{x^3}$ 的定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，关于原点对称。 因为 $f(-x)=(-x{)}^3-\frac{1}{(-x{)}^3}=-x^3+\frac{1}{x^3}=-\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)=-f(x)$， 所以 $f(x)$ 是奇函数，排除选项 (C), (D)。 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-3\left(-\frac{1}{x^4}\right)=3x^2+\frac{3}{x^4}$. 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$3x^2>0$ 且 $\frac{3}{x^4}>0$， 故 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立。 因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性、单调性。
2. 核心方法：利用 $f(-x)=-f(x)$ 判奇偶，利用导数大于零判单调递增。
3. 避坑指南：求导时注意分式求导符号，$-x^{-3}$ 求导后变为 $+\frac{3}{x^4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质基础题。
2. 结论推广: 形如 $x^n\pm \frac{1}{x^n}$ 的函数奇偶性由指数奇偶决定，在同号区间上单调性可用导数法准确判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性