2020-全国卷II文-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的四则运算与复合求导。核心在于分离参数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）21. 已知函数 $f(x)=2\ln x+1$。

（1）若 $f(x)\le 2x+c$，求 $c$ 的取值范围；

（2）设 $a>0$，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性。

🔍【思路分析】

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（1）恒成立求参数范围：

• $f(x)\le 2x+c$ 恒成立，等价于 $c\ge 2\ln x+1-2x$ 恒成立。
• 设 $h(x)=2\ln x-2x+1$，转化为求 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的最大值。

（2）含参函数的单调性：

• 先代入化简 $g(x)$，分子为 $2\ln x-2\ln a=2\ln \frac{x}{a}$。
• 求导判断 $g^{\prime }(x)$ 的符号，需对参数 $a$ 分类讨论。

✅【答案】

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(1) $c\ge -1$

(2) $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)\le 2x+c$ 恒成立，即 $c\ge 2\ln x+1-2x$ 恒成立。 设 $h(x)=2\ln x-2x+1$（$x>0$），则 $h^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-2=\frac{2(1-x)}{x}$。 令 $h^{\prime }(x)=0$，得 $x=1$。

• 当 $0<x<1$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $x>1$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。 故 $h(x)$ 的最大值为 $h(1)=2\ln 1-2+1=-1$。 因此 $c\ge -1$，即 $c$ 的取值范围为 $[-1,+\infty )$。

（2）由题意，$g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{2\ln x-2\ln a}{x-a}=\frac{2\ln \frac{x}{a}}{x-a}$（$x>0$，$x\ne a$）。 求导得 $g^{\prime }(x)=\frac{\frac{2}{x}(x-a)-2\ln \frac{x}{a}}{(x-a{)}^2}=\frac{2\left(1-\frac{a}{x}-\ln \frac{x}{a}\right)}{(x-a{)}^2}$。 令 $\phi (x)=1-\frac{a}{x}-\ln \frac{x}{a}$，则 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$。 又 $a>0$，由 ${\phi }^{\prime }(x)=0$ 得 $x=a$。

• 当 $0<x<a$ 时，${\phi }^{\prime }(x)>0$，$\phi (x)$ 单调递增；
• 当 $x>a$ 时，${\phi }^{\prime }(x)<0$，$\phi (x)$ 单调递减。 故 $\phi (x)\le \phi (a)=1-1-0=0$，且仅在 $x=a$ 时取等号。 于是当 $x\ne a$ 时，$\phi (x)<0$，从而 $g^{\prime }(x)<0$。 故 $g(x)$ 在 $(0,a)$ 和 $(a,+\infty )$ 上均单调递减。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 恒成立问题的转化： $f(x)\le k$ 恒成立 $⟺$ $k\ge f(x{)}_{\max }$，注意求最值要明确定义域。
• 含参函数单调性： 求导后构造函数 $\phi (x)$ 判断符号是常用手法，注意分母 $(x-a{)}^2>0$ 不改变符号。
• 避坑： $g(x)$ 在 $x=a$ 处无定义，单调区间应写为 $(0,a)$ 与 $(a,+\infty )$，不能合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是导数与函数单调性的典型压轴题，两问层层递进：第一问是恒成立求参数，第二问是含参函数单调性讨论。核心方法是「分离参数 + 构造函数求最值」。

推广：形如 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的「差商」结构，本质是割线斜率的极限形式，与导数的定义、拉格朗日中值定理有内在联系，是高考与竞赛的热点载体。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-21 解-函数零点讨论
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13