2020-全国卷II理-05 单-点到直线距离

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及圆与坐标轴相切的性质。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）5. 若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2x-y-3=0$ 的距离为（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆心位置：

• 因为圆过点 $(2,1)$，该点在第一象限，且圆与两坐标轴都相切，所以圆心必在第一象限。

• 几何特性： 圆心到两坐标轴的距离等于半径 $r$。故可设圆心坐标为 $(a,a)$，半径 $r=a$（其中 $a>0$）。

2. 建立并求解圆方程：

• 圆的标准方程为：$(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=a^2$。
• 将点 $(2,1)$ 代入方程，求出 $a$ 的所有可能值。

3. 计算距离：

• 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，计算圆心到直线 $2x-y-3=0$ 的距离。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 设圆方程： 由题意，设圆心为 $(a,a)$，半径为 $a$ ($a>0$)。 圆的方程为：$(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=a^2$。

2. 代入定点求参数： 将 $(2,1)$ 代入方程得： $(2-a{)}^2+(1-a{)}^2=a^2$ 展开并整理得： $4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2$ $a^2-6a+5=0$ 解得 $a_1=1,a_2=5$。 所以圆心坐标可能为 $(1,1)$ 或 $(5,5)$。

3. 计算点到直线距离： 直线方程为 $2x-y-3=0$。

• 当圆心为 $(1,1)$ 时：$d=\frac{|2(1)-1-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
• 当圆心为 $(5,5)$ 时：$d=\frac{|2(5)-5-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

两组圆心到直线的距离均为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 象限判定： 如果题目给出的点在其他象限，如 $(-2,1)$，则圆心应设为 $(-a,a)$。必须根据点的位置灵活调整圆心坐标符号。
• 计算巧合： 在此类题目中，往往会出现两个不同的圆，但它们满足相同的距离或性质。计算出第一个结果后，建议快速验证第二个，以防落入陷阱。
• 公式熟练度： 点到直线的距离公式是解析几何的基石，必须达到“熟练掌握”的程度。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为“圆与直线 $y=x$ 相切”，圆心的设定会发生变化吗？由于圆与两轴相切，圆心一定在直线 $y=x$ 或 $y=-x$ 上。本题中点 $(2,1)$ 在 $y=x$ 下方，说明这两个圆其实是关于 $y=x$ 对称分布在两侧的可能性（虽本题圆心都在 $y=x$ 上）。在更复杂的题目中，可以结合圆心轨迹的思想来简化计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 1993-旧高考理-27
• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程