2020-全国卷II理-09 单-对数函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）9. 设函数 $f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|$，则 $f(x)$（ ）

A. 是偶函数，且在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 单调递增

B. 是奇函数，且在 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 单调递减

C. 是偶函数，且在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 单调递增

D. 是奇函数，且在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 单调递减

🔍【思路分析】

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1. 判定奇偶性：

• 求定义域：$2x+1\ne 0$ 且 $2x-1\ne 0$，即 $x\ne \pm \frac{1}{2}$。定义域关于原点对称。
• 计算 $f(-x)$： $f(-x)=\ln |-2x+1|-\ln |-2x-1|=\ln |2x-1|-\ln |2x+1|=-f(x)$
• 结论：$f(x)$ 为奇函数。排除 A, C。

2. 判定单调性：

• 变形处理： 利用对数运算法则 $f(x)=\ln \left|\frac{2x+1}{2x-1}\right|$。
• 分析 $x\in (-\infty ,-\frac{1}{2})$： 此时 $2x+1<0$ 且 $2x-1<0$，则 $\frac{2x+1}{2x-1}>0$。 $f(x)=\ln \left(\frac{2x+1}{2x-1}\right)=\ln \left(\frac{2x-1+2}{2x-1}\right)=\ln \left(1+\frac{2}{2x-1}\right)$。
• 复合函数判定： 内层函数 $u(x)=1+\frac{2}{2x-1}$ 在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上单调递减。 外层函数 $y=\ln u$ 单调递增。 根据“同增异减”原理，$f(x)$ 在该区间单调递减。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 奇偶性验证： $f(x)$ 定义域为 $\{x|x\ne \pm \frac{1}{2}\}$。 $f(-x)=\ln |2(-x)+1|-\ln |2(-x)-1|=\ln |-2x+1|-\ln |-(2x+1)|$ $f(-x)=\ln |2x-1|-\ln |2x+1|=-(\ln |2x+1|-\ln |2x-1|)=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 是奇函数。

2. 单调性验证（以 D 为例）： 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$2x+1<0$ 且 $2x-1<0$。 $f(x)=\ln (-(2x+1))-\ln (-(2x-1))=\ln \frac{2x+1}{2x-1}=\ln \left(1+\frac{2}{2x-1}\right)$。 设 $u=1+\frac{2}{2x-1}$，在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上，$2x-1$ 单调递增且为负值，则 $\frac{2}{2x-1}$ 单调递减。 因此 $u$ 单调递减，$f(x)=\ln u$ 单调递减。D 正确。

3. 排除 B： 在 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 上，$f(x)=\ln (2x+1)-\ln (1-2x)$。 导数 $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{-2}{1-2x}=\frac{2}{2x+1}+\frac{2}{1-2x}>0$。 故 $f(x)$ 在该区间单调递增，B 错误。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 绝对值符号的处理： 很多学生看到绝对值会心慌。其实在确定了区间后，直接根据内部正负号去掉绝对值即可。
• 分式线性函数： 变形为 $1+\frac{k}{x-b}$ 的形式是分析单调性的“标准姿势”。
• 奇函数的对称性： 如果 $f(x)$ 是奇函数，且在 $(-\infty ,-1/2)$ 单调递减，那么它在 $(1/2,+\infty )$ 也必然单调递减。这一性质可以帮助快速验证 A 选项的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果函数变为 $f(x)=\ln |\frac{2x+1}{2x-1}|$，注意它的图像会在 $x=\pm 1/2$ 处产生渐近线。这种“对数分式型”函数是高考的高频考点，建议熟练掌握其导数计算： $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{2}{2x-1}=\frac{-4}{4x^2-1}$ 通过导数的正负判定单调性往往比复合函数分析更直观：当 $x^2>1/4$ 时，$f^{\prime }(x)<0$（减函数）；当 $x^2<1/4$ 时，$f^{\prime }(x)>0$（增函数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16