2020-全国卷II理-13 填-向量垂直

本题导读

本题考查单位向量的定义，以及向量数量积的定义。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）13. 已知单位向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ }$，$k\vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 k =$$\underline{\hspace{2em}}.

🔍【思路分析】

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1. 提取已知条件：

• 单位向量：$|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$。
• 夹角 $\theta =45^{\circ }$：则数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 利用垂直关系列方程：

• 若两向量垂直，则它们的数量积为 0。
• 即：$(k\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析过程】

1. 计算基础数量积： 因为 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，夹角为 $45^{\circ }$， 所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=1\times 1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 同时，$\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2=1$。

2. 建立垂直方程： 由于 $(k\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{a}$， 则 $(k\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0$。 展开得：$k(\vec{a}\cdot \vec{a})-\vec{b}\cdot \vec{a}=0$。

3. 代入求解： $k\times 1-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$， 解得 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单位向量的隐含条件： 看到“单位向量”四个字，脑中应立刻反应出 $|\vec{a}|=1$。
• 向量拆解性质： 数量积满足分配律，即 $(\vec{A}+\vec{B})\cdot \vec{C}=\vec{A}\cdot \vec{C}+\vec{B}\cdot \vec{C}$。
• 几何意义： 实际上，$k$ 的物理意义是向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影长度。因为 $(k\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{a}$，由投影定义可知 $k=|\vec{b}|\cos \theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求 $|k\vec{a}-\vec{b}|$ 的值，我们可以利用公式 $|\vec{v}|=\sqrt{{\vec{v}}^2}$ 来求解： $|k\vec{a}-\vec{b}{|}^2=k^2{\vec{a}}^2-2k\vec{a}\vec{b}+{\vec{b}}^2$。 这类模长计算与垂直关系的组合是高考填空题的常客。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2000-上海卷理-01 填-平面向量的坐标运算