2020-全国卷II理-16 填-复合命题

本题导读

本题考查平面的基本性质与公理。核心在于逻辑分析法、举反例法 (判定假命题)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）16. 设有下列四个命题：

$p_1$：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。

$p_2$：过空间中任意三点有且仅有一个平面。

$p_3$：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。

$p_4$：若直线 $l\subset$ 平面 $\alpha$，直线 $m\perp$ 平面 $\alpha$，则 $m\perp l$。 则下述命题中所有真命题的序号是$\underline{}$.

① $p_1\wedge p_4$　　　　② $p_1\wedge p_2$

③ $\neg p_2\vee p_3$　　　④ $\neg p_3\vee \neg p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

第一步：判定基础命题真假

• $p_1$： 根据“两条相交直线确定一个平面”以及“直线在平面内的判定”。若 $a,b$ 相交确定平面 $\alpha$，$c$ 与 $a,b$ 分别相交于不同两点，则 $c$ 上的两个点都在 $\alpha$ 内，故 $c\subset \alpha$。（真）

• $p_2$： 确定平面的条件是“不共线的三点”。若三点共线，可确定无数个平面（如书页的装订轴）。（假）

• $p_3$： 空间直线不相交的可能性有两种：平行或异面。（假）

• $p_4$： 线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线。（真）

第二步：判定复合命题真假（真值表应用）

• $A\wedge B$：全真才真。
• $A\vee B$：一真即真。
• $\neg A$：真假互换。

✅【答案】

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真命题的序号为 ①③④

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ①③④

【解析过程】

1. 基础命题判定：

• $p_1$：真。

• $p_2$：假（若三点共线，则不唯一）。

• $p_3$：假（可能异面）。

• $p_4$：真（线面垂直定义）。

2. 复合命题判定：

• ① $p_1\wedge p_4$： 真 $\wedge$ 真 = 真。
• ② $p_1\wedge p_2$： 真 $\wedge$ 假 = 假。
• ③ $\neg p_2\vee p_3$： 因为 $p_2$ 假，所以 $\neg p_2$ 真。真 $\vee$ 假 = 真。
• ④ $\neg p_3\vee \neg p_4$： 因为 $p_3$ 假，所以 $\neg p_3$ 真。真 $\vee$ 假 = 真。

综上，真命题的序号为 ①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公理细节： 确定平面的四个条件（不共线三点、直线及点、两条相交线、两条平行线）是选择填空的高频考点，必须记清“不共线”等前提。
• 逻辑陷阱： 在处理 $\neg p_2\vee p_3$ 时，只要发现前半部分 $\neg p_2$ 已经为真，则无论 $p_3$ 是真是假，整个“或”命题一定为真。这种“短路逻辑”能加快解题速度。
• 空间想象： 对 $p_3$ 这种命题，脑中应立刻浮现出长方体中两条既不平行也不相交的棱。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果将 $p_4$ 改为：“若 $m\perp l$，且 $l\subset \alpha$，则 $m\perp \alpha$”，这个命题是否成立？ 答案是假。因为直线 $m$ 必须垂直于平面内的两条相交直线才能判定线面垂直。这种逆命题的判定在立体几何大题中经常作为证明步骤出现，需要引起重视。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-20 单-空间命题的真假
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题
• 1988-上海-15 单-空间线面关系命题