2020-全国卷II理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的四则运算与复合求导。核心在于导数工具法、构造结构法 (同构放缩)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）21. 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x\sin 2x$。

（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi )$ 的单调性；

（2）证明：$|f(x)|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$；

（3）设 $n\in N^{\ast }$，证明：${\sin }^{2}x{\sin }^{2}2x{\sin }^{2}4x\dots {\sin }^2{2}^{n}x\le \frac{3^n}{4^n}$。

🔍【思路分析】

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（1）单调性：

• 求导是关键。利用 $f(x)=2{\sin }^{3}x\cos x$ 求导。

• 寻找导函数 $f^{\prime }(x)$ 的零点，划分区间判断正负。

（2）证明最值：

• 结合（1）中的极值点 $x=\frac{\pi }{3}$ 和 $x=\frac{2\pi }{3}$，计算对应的极值。
• 注意到 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数，区间内最大绝对值即为全局界限。

（3）连乘积证明（难点）：

• 观察结构： 目标式左边是 $\prod {\sin }^2(2^{k}x)$。
• 寻找联系： 注意到（2）中证明了 $|f(x)|=|{\sin }^{2}x\sin 2x|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$。
• 构造法： 尝试将左侧项通过“凑项”与 $f(x)$ 挂钩。通过 $S^{3/2}$ 的形式构造出连续的 $f(2^{k}x)$ 乘积项，利用已知结论进行整体放缩。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $|f(x)|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）讨论 $f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 的单调性 $f(x)={\sin }^{2}x(2\sin x\cos x)=2{\sin }^{3}x\cos x$。 $f^{\prime }(x)=6{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-2{\sin }^{4}x=2{\sin }^{2}x(3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$。 $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，在 $(0,\pi )$ 内，$\sin x\ne 0$，则 $\cos x=\pm \frac{1}{2}$。 得 $x_1=\frac{\pi }{3}$，$x_2=\frac{2\pi }{3}$。

• 当 $x\in (0,\frac{\pi }{3})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (\frac{2\pi }{3},\pi )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

（2）证明：$|f(x)|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$ 由（1）知，$f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 上的极大值为 $f(\frac{\pi }{3})=\frac{3\sqrt{3}}{8}$，极小值为 $f(\frac{2\pi }{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$。 由于 $f(x)$ 的周期为 $\pi$，在定义域 $\mathbb{R}$ 内： $|f(x)|\le \max \{|f(\frac{\pi }{3})|,|f(\frac{2\pi }{3})|\}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$。

（3）证明连乘积不等式 记 $S_n={\sin }^{2}x{\sin }^{2}2x{\sin }^{2}4x\dots {\sin }^2{2}^{n}x$。 考虑 $S_n$ 的 $3/2$ 次幂（目的是为了凑出 ${\sin }^3$ 的结构）： $S_n^{3/2}=|{\sin }^{3}x\cdot {\sin }^{3}2x\cdot {\sin }^{3}4x\dots {\sin }^3{2}^{n}x|$ 将其改写为 $f(x)$ 的乘积形式： $S_n^{3/2}=|\sin x|\cdot |({\sin }^{2}x\sin 2x)({\sin }^{2}2x\sin 4x)\dots ({\sin }^2{2}^{n-1}x\sin 2^{n}x)|\cdot {\sin }^2{2}^{n}x$ $S_n^{3/2}=|\sin x|\cdot |f(x)\cdot f(2x)\cdot f(4x)\dots f(2^{n-1}x)|\cdot {\sin }^2{2}^{n}x$ 由（2）可知 $|f(2^{k}x)|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$，且 $|\sin x|\le 1,{\sin }^2{2}^{n}x\le 1$： $S_n^{3/2}\le 1\cdot (\frac{3\sqrt{3}}{8}{)}^n\cdot 1={\left(\frac{3^{3/2}}{2^3}\right)}^n={\left(\frac{3^3}{2^6}\right)}^{n/2}={\left(\frac{27}{64}\right)}^{n/2}$ 即 $S_n^{3/2}\le {\left(\frac{3}{4}\right)}^{3n/2}$。 两边同时进行 $2/3$ 次方，得：$S_n\le {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$。 命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数工具： 处理三角函数单调性时，二倍角公式和平方差公式是化简导函数的常用武器。
• 周期性思想： 许多导数题只给一个区间，但通过周期性可以推广到全集。
• 结构化证明： 第三问的核心在于同构转化。通过 $S_n^{3/2}$ 这种看似奇特的幂次处理，巧妙地将杂乱的 ${\sin }^2{2}^{k}x$ 序列转化为整齐的 $f(2^{k}x)$ 序列。

📖【试题探源与推广】

Tip

除了导数法，本题（2）也可以利用均值不等式（AM-GM）求解。 $f^2(x)={\sin }^{4}x{\sin }^{2}2x=4{\sin }^{6}x{\cos }^{2}x=4{\sin }^{6}x(1-{\sin }^{2}x)$。 令 $t={\sin }^{2}x\in [0,1]$，则 $g(t)=4t^3(1-t)$。 利用均值不等式：$g(t)=\frac{4}{3}\cdot (3t\cdot t\cdot t\cdot (3-3t))\le \frac{4}{3}\cdot {\left(\frac{3t+t+t+3-3t}{4}\right)}^4=\frac{4}{3}\cdot (\frac{3}{4}{)}^4=\frac{27}{64}$。 由此得 $|f(x)|\le \sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$。

在处理如 $\prod \cos (2^{k}x)$ 或 $\prod \sin (2^{k}x)$ 的问题时，常用的技巧包括：

• 倍角公式连环使用： $\sin x\cos x\cos 2x\cdots =\frac{1}{2^n}\sin 2^{n}x$。
• 构造 $f(x)\cdot f(2x)\dots$： 如本题所示，将每一项通过放缩关联到已知函数。 这种“结构对消”或“结构重组”是解决竞赛级三角不等式的核心逻辑。

本题作为理科数学压轴题，难度梯度明显。第一、二问是所有考生的必争分，而第三问则用于区分顶尖考生。其考查的不仅仅是计算，更是对数学形式美（同构性）的洞察力。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值
• 2026-上海卷-03 填-二倍角
• 1977-北京理-04