2020-全国卷III文-04 单-对数模型

本题导读

本题考查指数函数与对数函数应用，以及Logistic模型。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$ ($t$ 的单位：天) 的 Logistic 模型：$I(t)=\frac{K}{1+{\mathrm{e}}^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数. 当 $I(t^{\ast })=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{\ast }$ 约为 ($\ln 19\approx 3$) ( )

A. 60　　　　　　　B. 63　　　　　　　C. 66　　　　　　　D. 69

🔍【思路分析】

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1. 将 $I(t^{\ast })=0.95K$ 代入模型方程。
2. 化简方程，利用对数的性质求解 $t^{\ast }$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $I(t^{\ast })=\frac{K}{1+{\mathrm{e}}^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95K$， 得 $\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95=\frac{19}{20}$， 变形得 $1+{\mathrm{e}}^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{20}{19}$， 即 ${\mathrm{e}}^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{1}{19}$。 两边取自然对数：$-0.23(t^{\ast }-53)=\ln \left(\frac{1}{19}\right)=-\ln 19\approx -3$， 解得 $0.23(t^{\ast }-53)\approx 3$， $t^{\ast }-53=\frac{3}{0.23}=\frac{300}{23}\approx 13.04$， 故 $t^{\ast }\approx 53+13=66$。 故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指对数方程的解法、实际应用题。
2. 核心方法：等量代换与对数化简。
3. 避坑指南：注意合理利用题目给出的近似值 $\ln 19\approx 3$ 进行简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第4题。
2. 结论推广: 经典增长模型（Logistic模型）在社会热点中的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域