2020-全国卷III文-05 单-两角和差正弦

本题导读

本题考查三角函数的恒等变换，以及两角和与差的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）已知 $\sin \theta +\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$，则 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=$ ( )

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 展开或利用辅助角公式将已知条件化简。
2. 观察目标式与已知条件中角的关系，建立联系求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\sin \theta +\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$， 展开得：$\sin \theta +\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}=1$， 即 $\sin \theta +\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta =1$， 化简得：$\frac{3}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta =1$。 提取公因式 $\sqrt{3}$： $\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \right)=1$， 而括号内正好是 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)$ 的展开式： $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\sin \theta \cos \frac{\pi }{6}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta$， 因此 $\sqrt{3}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=1$， 解得 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦公式、三角恒等变换。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：注意公式的熟练展开与凑配，避免盲目暴力化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第5题。
2. 结论推广: 常见三角函数变形与特征角的凑配技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-13 填-三角方程的解集
• 1995-全国卷理-03