2020-全国卷III文-06 单-轨迹方程

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）在平面内，$A$，$B$ 是两个定点，$C$ 是动点. 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$，则点 $C$ 的轨迹为 ( )

A. 圆　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 抛物线　　　　　D. 直线

🔍【思路分析】

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1. 以线段 $AB$ 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系。
2. 设出定点与动点的坐标，利用向量数量积坐标公式展开化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

以线段 $AB$ 的中点为坐标原点 $O$，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。 设 $A(-c,0),B(c,0)$（其中 $c>0$），设点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$。 则 $\overrightarrow{AC}=(x+c,y)$，$\overrightarrow{BC}=(x-c,y)$。 由 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$，得 $(x+c)(x-c)+y^2=1$， 即 $x^2-c^2+y^2=1$， 整理得 $x^2+y^2=1+c^2$。 因为 $1+c^2$ 为常数且大于 0，所以该方程表示以原点为圆心、半径为 $\sqrt{1+c^2}$ 的圆。 故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积、圆的方程。
2. 核心方法：坐标法。
3. 避坑指南：注意当右侧常数为 0 时为直径上的圆，为正数时仍旧是圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第6题。
2. 结论推广: 熟练掌握平面向量数量积对应的轨迹模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2004-辽宁卷-06 单-平面向量的坐标运算
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算