2020-全国卷III文-12 单-函数对称性

本题导读

本题考查三角函数的性质，以及函数的最值与对称性。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$，则 ( )

A. $f(x)$ 的最小值为 $2$

B. $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称

C. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称

D. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 分析函数的定义域（$\sin x\ne 0$）。
2. 逐一验证各个选项：检验最值时注意正弦函数的值域范围；检验对称性时利用诱导公式或代入验证。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于 A：当 $\sin x$ 的取值跨越正负时，如 $\sin x=-1$ 时，$f(x)=-1+\frac{1}{-1}=-2$，故其最小值不是 2（基本不等式 $x+\frac{1}{x}\ge 2$ 仅在 $x>0$ 时成立，此处 $\sin x$ 可正可负），A 错误； 对于 B：$f(-x)=\sin (-x)+\frac{1}{\sin (-x)}=-\sin x-\frac{1}{\sin x}=-f(x)$，说明 $f(x)$ 是奇函数，其图象关于原点对称，而不是关于 $y$ 轴对称，B 错误； 对于 C：验证 $x=\pi$ 是否为对称轴，计算 $f(\pi +x)$ 与 $f(\pi -x)$： $f(\pi -x)=\sin (\pi -x)+\frac{1}{\sin (\pi -x)}=\sin x+\frac{1}{\sin x}=f(x)$， 这说明函数关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称（或直接看周期和特殊点），我们代入 $x=\pi$ 附近的对称性： $f(2\pi -x)=f(-x)=-f(x)$， 严格验证 C：$f(\pi +x)=\sin (\pi +x)+\frac{1}{\sin (\pi +x)}=-\sin x-\frac{1}{\sin x}=-f(x)\ne f(x)$，故 C 错误； 对于 D：验证 $x=\frac{\pi }{2}$： $f\left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)+\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$， 而 $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$， 两者相等，且满足关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称（当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时取得极值或具有轴对称性），D 正确。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的图象与性质、函数对称性。
2. 核心方法：代入排除法与诱导公式。
3. 避坑指南：使用基本不等式时必须注意变量的取值范围（正负性），切勿盲目套用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第12题。
2. 结论推广: 复合三角函数的对称轴与周期性判定方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012年陕西卷理-16
• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 1990-上海卷-05 填-半角公式求值