2020-全国卷III文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 0\\ 2x-y\ge 0\\ x\le 1\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值为________.

🔍【思路分析】

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1. 画出由约束条件围成的可行域平面区域。
2. 确定目标函数 $z=3x+2y$ 在可行域各个顶点处的取值，找出最大值对应的顶点。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域： 直线 $x+y=0$、$2x-y=0$ 以及 $x=1$ 围成一个三角形区域。 联立边界直线方程求出顶点坐标：

1. 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ x+y=0\end{array}$，得交点 $A(1,-1)$；
2. 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ 2x-y=0\end{array}$，得交点 $B(1,2)$；
3. 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x-y=0\end{array}$，得交点原点 $O(0,0)$。 将三个顶点的坐标代入目标函数 $z=3x+2y$：

• 在点 $A(1,-1)$ 处：$z=3(1)+2(-1)=3-2=1$；
• 在点 $B(1,2)$ 处：$z=3(1)+2(2)=3+4=7$；
• 在点 $O(0,0)$ 处：$z=3(0)+2(0)=0$。 比较可知，目标函数的最大值为 $7$。 故答案为：$7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法（顶点验证法）。
3. 避坑指南：作图时要准确画出边界，代入顶点坐标时防止计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第13题。
2. 结论推广: 线性目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I文-15 填-线性规划目标最值
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值
• 2004-全国卷IV文-16 填-线性规划最大值