2020-全国卷III文-17 解-数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于方程组法与性质化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）设等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_2=4$, $a_3-a_1=8$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $S_n$ 为数列 $\{{\log }_3{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_m+S_{m+1}=S_{m+3}$，求 $m$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，根据已知条件列出关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程组求解。
2. 第二问：根据 $\{a_n\}$ 的通项公式求出 ${\log }_3{a}_n$ 的表达式，利用等差数列求和公式表示出 $S_m$，$S_{m+1}$，$S_{m+3}$，代入方程求出 $m$。

✅【答案】

点击查看答案

数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=a_1{q}^{n-1}=3^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 由题意可得方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+a_{1}q=4\\ a_1{q}^2-a_1=8\end{array}$ 即 $\{\begin{array}{l}{a}_1(1+q)=4\\ a_1(q-1)(q+1)=8\end{array}$ 将第二个方程除以第一个方程得：$\frac{a_1(q-1)(q+1)}{a_1(1+q)}=\frac{8}{4}$， 即 $q-1=2⟹q=3$。 代入 $a_1(1+3)=4$ 解得 $a_1=1$。 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=a_1{q}^{n-1}=3^{n-1}$。

(2) 因为 $a_n=3^{n-1}$，所以 ${\log }_3{a}_n={\log }_3(3^{n-1})=n-1$。 设数列 $\{{\log }_3{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n$ 是首项为 $0$，公差为 $1$ 的等差数列的前 $n$ 项和。 $S_n=\frac{n(0+n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。 由 $S_m+S_{m+1}=S_{m+3}$，代入公式得： $\frac{m(m-1)}{2}+\frac{(m+1)m}{2}=\frac{(m+3)(m+2)}{2}$， 两边同乘以 2 化简： $m(m-1)+m(m+1)=(m+3)(m+2)$， $m^2-m+m^2+m=m^2+5m+6$， $2m^2=m^2+5m+6$， 移项整理得 $m^2-5m-6=0$， 因式分解得：$(m-6)(m+1)=0$， 解得 $m=6$ 或 $m=-1$。 因为 $m$ 为正整数（项数指标），故 $m=6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式、对数运算、数列求和方程。
2. 核心方法：基本量法（设 $a_1,q$）、方程思想。
3. 避坑指南：第二问求出 $m$ 的值后，必须检验 $m$ 是否满足作为项数的正整数条件（舍去 $m=-1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第17题。
2. 结论推广: 等比数列取对数后转化为等差数列，考查数列性质的综合应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项
• 2014-重庆卷文-16 解-等差等比数列