2020-全国卷III文-19 解-立几综合

本题导读

本题考查立体几何中的线面垂直。核心在于空间直角坐标系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$ 上，且 $2DE=E{D}_1,BF=2F{B}_1$. 证明：

(1) 当 $AB=BC$ 时，$EF\perp AC$；

(2) 点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：建立空间直角坐标系，利用向量垂直的数量积为零来证明 $EF\perp AC$；或者通过几何法利用线面垂直的性质证明。
2. 第二问：证明点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内，只需证明向量 $\overrightarrow{A{C}_1}$ 可以由向量 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{AF}$ 线性表示，即存在实数 $\lambda ,\mu$ 使得 $\overrightarrow{A{C}_1}=\lambda \overrightarrow{AE}+\mu \overrightarrow{AF}$。

✅【答案】

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点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内

✍【详细解析】

Abstract

设长方体的长、宽、高分别为 $AB=a,BC=b,A{A}_1=c$. 以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,D{D}_1$ 所在的直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系。 依题意，$2DE=E{D}_1$，则 $DE=\frac{1}{3}c$；$BF=2F{B}_1$，则 $BF=\frac{2}{3}c$. 则相关点坐标为： $A(a,0,0)$，$C(0,b,0)$，$C_1(0,b,c)$，$E(0,0,\frac{1}{3}c)$，$F(a,b,\frac{2}{3}c)$.

(1) 当 $AB=BC$ 时，$a=b$. $\overrightarrow{EF}=(a,b,\frac{1}{3}c)=(a,a,\frac{1}{3}c)$， $\overrightarrow{AC}=(0-a,b-0,0-0)=(-a,a,0)$. 计算数量积： $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AC}=a(-a)+a\cdot a+\frac{1}{3}c\cdot 0=-a^2+a^2+0=0$. 所以 $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{AC}$，即 $EF\perp AC$.

(2) 证明点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内： 求向量 $\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{A{C}_1}$： $\overrightarrow{AE}=(0-a,0-0,\frac{1}{3}c-0)=(-a,0,\frac{1}{3}c)$， $\overrightarrow{AF}=(a-a,b-0,\frac{2}{3}c-0)=(0,b,\frac{2}{3}c)$， $\overrightarrow{A{C}_1}=(0-a,b-0,c-0)=(-a,b,c)$. 设 $\overrightarrow{A{C}_1}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{AF}$， 则 $(-a,b,c)=x(-a,0,\frac{1}{3}c)+y(0,b,\frac{2}{3}c)=(-xa,yb,\frac{1}{3}xc+\frac{2}{3}yc)$. 由此可得方程组： $\{\begin{array}{l}-xa=-a\\ yb=b\\ \frac{1}{3}xc+\frac{2}{3}yc=c\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ \frac{1}{3}(1)+\frac{2}{3}(1)=1\end{array}$（方程恒成立）。 因为 $\overrightarrow{A{C}_1}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$，且向量 $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{A{C}_1}$ 的起点相同， 所以点 $C_1,A,E,F$ 共面，即点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量的坐标运算、线面垂直、四点共面定理。
2. 核心方法：空间直角坐标系法（代数法）。
3. 避坑指南：证明共面时，利用线性表示 $p=xq+yt$ 且 $x+y$ 不一定为1（只要起点相同且满足线性组合即可确定共面）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第19题。
2. 结论推广: 空间几何体中位置关系证明的向量化处理标准方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷III文-19 解-空间位置关系
• 1990-全国卷理-11 单-异面直线所成的角
• 1990-全国卷理-23 解-二面角的度数