2020-全国卷III理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）1. 已知集合 $A=\{(x,y)|x,y\in N^{\ast },y\ge x\}$，$B=\{(x,y)|x+y=8\}$，则 $A\cap B$ 中元素的个数为（ ）

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确交集的含义：

• $A\cap B$ 中的元素必须同时满足两个集合的条件：
  • 条件一：$x,y$ 均为正整数（$1,2,3,\dots$）。
  • 条件二：$y\ge x$（在直角坐标系中，点在直线 $y=x$ 上方或其上）。
  • 条件三：$x+y=8$（点在直线 $x+y=8$ 上）。

2. 缩小取值范围：

• 将 $x+y=8$ 代入 $y\ge x$，得 $8-x\ge x⟹2x\le 8⟹x\le 4$。
• 结合 $x\in N^{\ast }$，可知 $x$ 只能取 $1,2,3,4$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 建立不等式组： 由题意，集合 $A\cap B$ 中的元素 $(x,y)$ 需满足： $\{\begin{array}{l}x+y=8\\ y\ge x\\ x,y\in N^{\ast }\end{array}$

2. 列举满足条件的解： 将 $y=8-x$ 代入 $y\ge x$ 得： $8-x\ge x⟹2x\le 8⟹x\le 4$。 由于 $x\in N^{\ast }$，故 $x$ 的取值为 $1,2,3,4$。 相应的 $y$ 值为：

• 当 $x=1$ 时，$y=7$（满足 $y\ge x$）

• 当 $x=2$ 时，$y=6$（满足 $y\ge x$）

• 当 $x=3$ 时，$y=5$（满足 $y\ge x$）

• 当 $x=4$ 时，$y=4$（满足 $y\ge x$）

3. 确定元素个数： 满足条件的元素共有 $(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)$ 这 4 个。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数集符号辨析： $N$ 是自然数集（含 0），$N^{\ast }$ 或 $N_{+}$ 是正整数集（不含 0）。如果本题误记为包含 0，则会多出 $(0,8)$ 一个解。
• 点集的本质： 集合中的元素是 $(x,y)$ 形式的有序数对，在几何上对应坐标平面上的点。
• 列举法的适用性： 对于这种范围较小、自变量受限于整数集的题目，列举法是最直接、容错率最高的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目改为 “$x,y\in R$”，那么 $A\cap B$ 就不是有限个点，而是一条线段，其元素个数将是无限个。在处理集合问题时，首先观察代表元素（是 $x$ 还是 $(x,y)$）和取值范围限制是解题的第一要务。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷理-01
• 2009-陕西卷理-01
• 2012-上海卷文-02 填-集合的交集运算