2020-全国卷III理-09 单-一元二次方程

本题导读

本题考查两角和的正切公式

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）9. 已知 $2\tan \theta -\tan (\theta +\frac{\pi }{4})=7$，则 $\tan \theta =$（ ）

A. -2　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公式展开： 利用两角和的正切公式展开 $\tan (\theta +\frac{\pi }{4})$： $\tan (\theta +\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \theta +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \theta \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \theta +1}{1-\tan \theta }$

2. 换元简化： 令 $t=\tan \theta$，将原三角方程转化为关于 $t$ 的分式方程： $2t-\frac{t+1}{1-t}=7$

3. 解方程： 去分母（注意 $t\ne 1$），化简整理为一元二次方程的标准形式，求出 $t$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 展开并代入： 由两角和的正切公式得 $\tan (\theta +\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \theta +1}{1-\tan \theta }$。 代入已知等式： $2\tan \theta -\frac{\tan \theta +1}{1-\tan \theta }=7$

2. 化简方程： 设 $t=\tan \theta$，则： $2t-\frac{t+1}{1-t}=7$ 方程两边同乘以 $(1-t)$（需 $t\ne 1$）： $2t(1-t)-(t+1)=7(1-t)$ $2t-2t^2-t-1=7-7t$

3. 整理得： $-2t^2+t-1=7-7t$ $2t^2-8t+8=0$ 除以 2 得： $t^2-4t+4=0$ $(t-2{)}^2=0$ 解得 $t=2$。

4. 结论： 即 $\tan \theta =2$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式记忆： 必须熟记 $\tan (\alpha \pm \frac{\pi }{4})$ 的常用变形：$\frac{\tan \alpha \pm 1}{1\mp \tan \alpha }$。
• 分母变号： 在化简 $2t-\frac{t+1}{1-t}=7$ 时，可以将分母变为 $t-1$，则等式变为 $2t+\frac{t+1}{t-1}=7$，避免处理负号带来的错误。
• 计算技巧： 得到 $t^2-4t+4=0$ 后，应迅速识别出它是完全平方式。
• 检验： 算出 $t=2$ 满足 $t\ne 1$ 的前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是 $\sin 2\theta$ 的值，在求出 $\tan \theta =2$ 后，可以利用万能公式： $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{2\times 2}{1+2^2}=\frac{4}{5}$ 这种由正切值推导出其他倍角三角函数值的方法，是高考三角大题中常见的第二问考法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷理-01 填-两角和的正切公式
• 1977-天津-01(4)
• 1977-河北卷-01(6)