2020-全国卷III理-16 填-对勾函数最值

本题导读

本题考查y轴对称)。核心在于定义代入法、特殊值排除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）16. 关于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：

① $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称。

② $f(x)$ 的图像关于原点对称。

③ $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称。

④ $f(x)$ 的最小值为 2。

其中所有真命题的序号是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇偶性分析（①②）：

• 检查 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。由于 $\sin (-x)=-\sin x$，代入解析式观察符号变化。

2. 对称轴分析（③）：

• 验证 $f(\frac{\pi }{2}-x)$ 是否等于 $f(\frac{\pi }{2}+x)$。

• 利用诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}\pm x)=\cos x$ 进行简化。

3. 最值判定（④）：

• 模型识别： 令 $u=\sin x$，则 $f(x)=u+\frac{1}{u}$。
• 范围限制： 注意 $u\in [-1,0)\cup (0,1]$。
• 陷阱： 均值不等式 $u+\frac{1}{u}\ge 2$ 仅在 $u>0$ 时成立。需考虑 $u<0$ 的情况。

✅【答案】

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$f(x)$ 的值域为 $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ②③

【解析过程】

1. 判定奇偶性（①②）： $f(-x)=\sin (-x)+\frac{1}{\sin (-x)}=-\sin x-\frac{1}{\sin x}=-(\sin x+\frac{1}{\sin x})=-f(x)$。

• $f(-x)=-f(x)$ 说明函数是奇函数，图像关于原点对称。

• 故 ② 正确，① 错误。

2. 判定对称轴（③）： $f(\frac{\pi }{2}-x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)+\frac{1}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$。 $f(\frac{\pi }{2}+x)=\sin (\frac{\pi }{2}+x)+\frac{1}{\sin (\frac{\pi }{2}+x)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$。 因为 $f(\frac{\pi }{2}-x)=f(\frac{\pi }{2}+x)$，所以直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 是对称轴。

• 故 ③ 正确。

3. 判定最值（④）： 设 $u=\sin x$，则 $g(u)=u+\frac{1}{u}$。

• 当 $u\in (0,1]$ 时，$g(u)\in [2,+\infty )$。
• 当 $u\in [-1,0)$ 时，$g(u)\in (-\infty ,-2]$。 综上，$f(x)$ 的值域为 $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$。 函数既有正值也有负值（如 $x=-\frac{\pi }{2}$ 时 $f(x)=-2$），因此没有最小值（或最小值为负无穷）。
• 故 ④ 错误。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 诱导公式： 熟练掌握 $\sin (\pi -x)=\sin x$ 和 $\sin (\frac{\pi }{2}\pm x)=\cos x$ 是判断三角函数对称性的核心。
• 均值不等式的条件： 只有在各项均为正数时，才能直接说 $a+\frac{1}{a}\ge 2$。对于包含 $\sin x$ 的表达式，必须分区间讨论正负。
• 对勾函数图像： 脑中应有 $y=x+\frac{1}{x}$ 的双支曲线图像。本题中由于 $|x|\le 1$，实际上只取了该图像在 $x\in [-1,1]$ 之外部分（对应 $u=\sin x$ 的倒数效应）或者理解为取了该函数在定义域内最靠近原点的两段。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是 “$|f(x)|$ 的最小值”，那么答案就是 2。在处理高考填空题时，对于“所有真命题”类的题目，务必每一个选项都严格推导，切勿因为看到某个选项“面熟”（如看到 $x+1/x$ 就联想 2）而草率勾选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2012-福建理-07
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1989-全国卷理-15 填-反函数的定义域