2020-全国卷III理-17 解-等比数列

本题导读

本题考查数列递推关系。核心在于归纳-猜想-证明、错位平移作差的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）17. 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=3a_n-4n$。

（1）计算 $a_2,a_3$，猜想 $\{a_n\}$ 的通项公式并加以证明；

（2）求数列 $\{a_n\cdot 2^n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）猜想与证明：

• 计算： 直接将 $n=1,2$ 代入递推式求出前三项。

• 猜想： 观察 $3,5,7\dots$ 的规律，显然是一个首项为 3，公差为 2 的等差数列。

• 证明： 题目明确要求证明，使用数学归纳法是最标准的路径：

1. 验证 $n=1$。

2. 假设 $n=k$ 成立，利用递推式证明 $n=k+1$ 也成立。

注：也可以使用待定系数法构造辅助数列 $a_{n+1}-2(n+1)-1=3(a_n-2n-1)$ 证明。

（2）数列求和：

• 识别类型： 数列通项为 $(2n+1)\cdot 2^n$，属于“等差 $\times$ 等比”模型。

• 方法选择： 必须使用错位相减法。

• 核心动作： 列出 $S_n$，再列出 $2S_n$（公比倍的 $S_n$），两式错开一位相减，中间部分转化为等比数列求和。

✅【答案】

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当 $n=k+1$ 时，命题也成立

✍【详细解析】

Abstract

（1）猜想通项公式并证明

1. 计算：

由 $a_{n+1}=3a_n-4n$ 且 $a_1=3$ 得：

$a_2=3a_1-4\times 1=3\times 3-4=5$；

$a_3=3a_2-4\times 2=3\times 5-8=7$。

猜想： $a_n=2n+1$。

2. 证明（数学归纳法）：

① 当 $n=1$ 时，$a_1=2\times 1+1=3$，原命题成立。

② 假设当 $n=k$ ($k\in N^{\ast }$) 时命题成立，即 $a_k=2k+1$。

那么当 $n=k+1$ 时：

$a_{k+1}=3a_k-4k=3(2k+1)-4k=6k+3-4k=2k+3=2(k+1)+1$。

所以当 $n=k+1$ 时，命题也成立。

综合 ①②，对任意 $n\in N^{\ast }$，均有 $a_n=2n+1$。

（2）求数列 $\{(2n+1)\cdot 2^n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

设 $b_n=(2n+1)\cdot 2^n$，则：

$S_n=3\cdot 2^1+5\cdot 2^2+7\cdot 2^3+\cdots +(2n+1)\cdot 2^n$ —— (式1)

乘公比 2 得：

$2S_n=3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots +(2n-1)\cdot 2^n+(2n+1)\cdot 2^{n+1}$ —— (式2)

(式1) - (式2) 得：

$-S_n=3\cdot 2^1+[2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +2\cdot 2^n]-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=6+\frac{2\cdot 2^2(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=6+(-8+2^{n+1})-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=-2+2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=-2+2^{n+1}(1-2n-1)=-2-2n\cdot 2^{n+1}$ (此处计算需细心)

更正计算细节（重新作差）：

$-S_n=6+2(2^2+2^3+\cdots +2^n)-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

中间等比数列和为 $2\times \frac{4(1-2^{n-1})}{1-2}=8(2^{n-1}-1)=2^{n+2}-8$。

$-S_n=6+2^{n+2}-8-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=-2+2\cdot 2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}$

$-S_n=-2+(2-2n-1)\cdot 2^{n+1}=-2+(1-2n)\cdot 2^{n+1}$

所以 $S_n=(2n-1)\cdot 2^{n+1}+2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 错位相减法的“生死关”： 绝大多数错误发生在作差后的符号处理和项数判断上。建议在括号内写出完整的等比数列求和式，不要急于合并。

• 结果检验： 算出 $S_n$ 后，代入 $n=1$ 验证。

• 若 $n=1$，$S_1=(2-1)\cdot 2^2+2=6$。

• 原数列第一项 $a_1\cdot 2^1=3\times 2=6$。一致，结果正确。

• 数学归纳法： 步骤必须完整（基础步、假设步、递推步、结论步）。

📖【试题探源与推广】

Tip

除了数学归纳法，（1）中也可以使用构造法（待定系数）：

设 $a_{n+1}+A(n+1)+B=3(a_n+An+B)$。

展开得 $a_{n+1}=3a_n+2An+(2B-A)$。

对比 $a_{n+1}=3a_n-4n$，得 $2A=-4⟹A=-2$，$2B-(-2)=0⟹B=-1$。

所以 $a_{n+1}-2(n+1)-1=3(a_n-2n-1)$。

因为 $a_1-2(1)-1=3-3=0$，所以数列 $\{a_n-2n-1\}$ 是恒为 0 的常数列。

得 $a_n=2n+1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷理-18

• 2021-天津卷-19 解-数列综合

• 2005-江苏卷-23 解-数列递推与数学归纳法