2020-全国卷III理-19 解-立几二面角

本题导读

本题考查空间点、线、面位置关系的证明。核心在于构造法 (平行四边形判定)、空间向量法 (坐标代数化)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）19. 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$ 上，且 $2DE=E{D}_1$，$BF=2F{B}_1$。

（1）证明：点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内；

（2）若 $AB=2$，$AD=1$，$A{A}_1=3$，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证明点在平面内：

• 策略： 证明 $A,E,C_1,F$ 四点共面。

• 方法： 最直观的方法是证明四边形 $AE{C}_{1}F$ 是平行四边形（通过 $AF//E{C}_1$ 且 $AF=E{C}_1$）。利用比例关系 $1:2$ 与 $2:1$ 在长方体平行棱上的分布进行构造。

（2）二面角计算（空间向量法）：

• 建系： 以 $D$ 为原点，分别以 $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 找点坐标： 注意 $DE=1$（对应 $E$ 点 $z=1$），$BF=2$（对应 $F$ 点 $z=2$）。
• 法向量： 分别求出平面 $AEF$ 和平面 $A_{1}EF$ 的法向量。
• 转化： 向量夹角公式求出的是余弦值，最后需转化为正弦值。

✅【答案】

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$AF//E{C}_1$ 且 $AF=E{C}_1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内 证明：

1. 在棱 $C{C}_1$ 上取点 $G$，使 $CG=\frac{2}{3}C{C}_1$。连接 $DG,FG,C_{1}E$。
2. 在长方体中，$B{B}_1//C{C}_1$ 且 $B{B}_1=C{C}_1$。 由题意 $BF=\frac{2}{3}B{B}_1$，故 $BF=CG$ 且 $BF//CG$。 所以四边形 $BCGF$ 是平行四边形，从而 $FG//BC$ 且 $FG=BC$。 又 $BC//AD$ 且 $BC=AD$，所以 $FG//AD$ 且 $FG=AD$。 故四边形 $ADGF$ 是平行四边形，得 $AF//DG$ 且 $AF=DG$。
3. 同理，由 $DE=\frac{1}{3}D{D}_1$，$C_{1}G=\frac{1}{3}C{C}_1$（因为 $CG=2/3$）可证四边形 $DE{C}_{1}G$ 是平行四边形。 得 $E{C}_1//DG$ 且 $E{C}_1=DG$。
4. 综上，$AF//E{C}_1$ 且 $AF=E{C}_1$。 因此四边形 $AE{C}_{1}F$ 是平行四边形，即 $A,E,C_1,F$ 四点共面。 所以点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内。

（2）求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值 解：

1. 建立坐标系： 以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 则各点坐标为：$A(1,0,3)$, $A_1(1,0,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,2,2)$。

2. 求向量： $\overrightarrow{AE}=(-1,0,-2)$, $\overrightarrow{AF}=(0,2,-1)$。 $\overrightarrow{A_{1}E}=(-1,0,1)$, $\overrightarrow{A_{1}F}=(0,2,2)$。

3. 求法向量：

• 设平面 $AEF$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，由 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\vec{m}\cdot \overrightarrow{AF}=0$ 得： $-x_1-2z_1=0$ 且 $2y_1-z_1=0$。取 $z_1=2$，则 $\vec{m}=(-4,1,2)$。

• 设平面 $A_{1}EF$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=0,\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}F}=0$ 得： $-x_2+z_2=0$ 且 $2y_2+2z_2=0$。取 $z_2=1$，则 $\vec{n}=(1,-1,1)$。

4. 计算： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{|-4-1+2|}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。 设二面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\sqrt{7}}{7}$。 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{7}{49}}=\sqrt{\frac{42}{49}}=\frac{\sqrt{42}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平行关系的传递性： 第一问巧妙地利用了一个中间向量 $\overrightarrow{DG}$，通过两次证明平行四边形实现了 $AF$ 到 $E{C}_1$ 的等量平移。
• 建系原点的灵活性： 题目解析中以 $C_1$ 为原点或以 $D$ 为原点均可，关键在于坐标计算不要记混长、宽、高。
• 审题细节： 注意求的是“正弦值”，向量法算完余弦后必须多走一步转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 平行四边形法（本题）： 证明该点与平面内已知三点构成的四边形为平行四边形（或梯形）。
• 向量共面法： 设 $\overrightarrow{A{C}_1}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{AF}$，若能找到唯一的实数对 $(x,y)$，则四点共面。
• 体积零值法（选看）： 证明以这四点为顶点的三棱锥体积为 0（即混合积为 0），这在解析大题中由于计算量大较少使用。

在高考阅卷中，二面角问题通常要求余弦值。本题特意要求正弦值，是为了增加一个运算台阶。

• 陷阱： 二面角的范围是 $[0,\pi ]$，其余弦值可正可负，但正弦值恒为非负。
• 技巧： 若遇到二面角余弦值为负（钝角），转换正弦时结果依然不变。

本题中 $DE:E{D}_1=1:2$ 而 $BF:F{B}_1=2:1$。这种“反向比例”在长方体中经常构成过中心对称的平面。如果在考试中能预判 $AE$ 与 $C_{1}F$ 平行，则可以极大缩短第一问的思考时间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-江西卷理-20
• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2016-山东卷理-17