2020-北京卷-01 单-不等式性质

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）1. 已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}$，$B=\{x\mid 0<x<3\}$，则 $A\cap B=$ （ ）

A. $\{-1,0,1\}$　　　　B. $\{0,1\}$　　　　C. $\{-1,1,2\}$　　　　D. $\{1,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解集合含义：

• 集合 $A$ 是一个包含 4 个孤立整数的有限集。
• 集合 $B$ 是一个开区间 $(0,3)$，包含该区间内的所有实数。

2. 寻找交集元素： 交集 $A\cap B$ 指的是既在 $A$ 中又在 $B$ 中的元素。我们只需要依次检查 $A$ 中的元素是否满足 $0<x<3$ 即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 逐一检验集合 $A$ 中的元素：

• 当 $x=-1$ 时，$-1<0$，不满足 $0<x<3$，故 $-1\notin B$；
• 当 $x=0$ 时，$0=0$，不满足 $0<x<3$（注意是开区间），故 $0\notin B$；
• 当 $x=1$ 时，$0<1<3$，满足条件，故 $1\in B$；
• 当 $x=2$ 时，$0<2<3$，满足条件，故 $2\in B$。

综上所述，$A\cap B=\{1,2\}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 开闭区间的区分： 这是集合题最常见的陷阱。如果集合 $B$ 改为 $\{x\mid 0\le x\le 3\}$，那么答案就会变为 $\{0,1,2\}$。
• 解题习惯： 对于这种“有限 vs 无限”的集合题，代入校验比画数轴更不容易在端点处出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

虽然第一题很简单，但北京卷常在集合部分出现以下考法：

1. 子集个数问题： 若求出的 $A\cap B=\{1,2\}$，题目问其真子集的个数，则为 $2^2-1=3$ 个。
2. 集合的性质： - 互异性：集合内元素不能重复。

• 无序性：$\{1,2\}$ 与 $\{2,1\}$ 是同一个集合。

3. 与命题逻辑结合： - “$x\in A$”是“$x\in B$”的什么条件？（本题中是既不充分也不必要条件，因为 $2\in A$ 但 $2$ 也在 $B$ 中，而 $-1\in A$ 但 $-1\notin B$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定
• 2006-陕西卷理-01 单-自然数集的定义与数域限制
• 2008-大纲卷II理-01