2020-北京卷-14 填-三角函数最值

本题导读

本题考查两角和的正弦公式，以及辅助角公式

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）14. 若函数 $f(x)=\sin (x+\phi )+\cos x$ 的最大值为 2，则常数 $\phi$ 的一个取值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开解析式：

利用两角和的正弦公式 $\sin (x+\phi )=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$ 将原式展开：

$f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi +\cos x$

合并同类项（按 $\sin x$ 和 $\cos x$ 分类）：

$f(x)=(\cos \phi )\sin x+(1+\sin \phi )\cos x$

2. 利用辅助角公式求最值：

对于 $g(x)=a\sin x+b\cos x$，其最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

本题中，$a=\cos \phi$，$b=1+\sin \phi$。

最大值为：

$A=\sqrt{{\cos }^2\phi +(1+\sin \phi {)}^2}$

3. 建立并求解关于 $\phi$ 的方程：

已知最大值为 2，则 $\sqrt{{\cos }^2\phi +(1+\sin \phi {)}^2}=2$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\pi }{2}$ （注：满足 $2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 的任一值均可）

【解析过程】

将函数 $f(x)$ 变形：

$f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi +\cos x$

$f(x)=(\cos \phi )\sin x+(\sin \phi +1)\cos x$

根据辅助角公式，该函数的最大值为：

$\sqrt{(\cos \phi {)}^2+(\sin \phi +1{)}^2}=2$

平方得：

${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi +2\sin \phi +1=4$

利用平方关系 ${\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi =1$：

$1+2\sin \phi +1=4$

$2\sin \phi =2⟹\sin \phi =1$

解得：

$\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

取 $k=0$ 时，$\phi =\frac{\pi }{2}$。

故答案为：$\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助角公式的振幅： 牢记 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\theta )$，其中最大值仅由系数 $a,b$ 的平方和决定。

• 特殊值的选取： 填空题要求写出“一个取值”，通常选择区间 $[0,2\pi )$ 内最简单的那个值。

• 逻辑陷阱： 很多学生可能会尝试特殊值代入（如令 $x=0$ 或 $x=\frac{\pi }{2}$），这虽然能缩小范围，但最严谨的还是通过振幅方程求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 向量视角： $a\sin x+b\cos x$ 可以看作向量 $(a,b)$ 与向量 $(\sin x,\cos x)$ 的数量积。其最大值即为向量 $(a,b)$ 的模长。

2. 相位关系： 本题中当 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 时，$f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{2})+\cos x=\cos x+\cos x=2\cos x$。显然其最大值为 2。这种“特殊化检验”在考试中非常有用，如果你猜 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 并代回验证，仅需 10 秒即可拿分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-全国卷理-04

• 2003-广东卷-07

• 2005-辽宁卷-18 解-三角函数的实际应用