2020-北京卷-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角转化法、方程思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）在 $△ABC$ 中，$a+b=11$。再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）$a$ 的值；

（Ⅱ）$\sin C$ 和 $△ABC$ 的面积。

条件①：$c=7,\cos A=-\frac{1}{7}$；

条件②：$\cos A=\frac{1}{8},\cos B=\frac{9}{16}$。

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问： 已知 $c,\cos A$ 及 $a+b=11$。代入余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，将 $b$ 替换为 $11-a$，构建关于 $a$ 的一元二次方程。

2. 第二问： 先用同角平方关系求 $\sin A$，再利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 求出 $\sin C$，最后代入 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

3. 第一问： 已知两角的余弦值，先求出它们的正弦值。利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 及 $b=11-a$ 求出 $a$。

4. 第二问： 利用 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ 求解。最后计算面积。

✅【答案】

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$S_{△ABC}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求 $a$ 的值： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理知：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 已知 $a+b=11⟹b=11-a$，代入得： $a^2=(11-a{)}^2+7^2-2(11-a)\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$ $a^2=121-22a+a^2+49+2(11-a)$ $0=170-22a+22-2a⟹24a=192⟹a=8$

（Ⅱ）求 $\sin C$ 及面积： 因为 $\cos A=-\frac{1}{7}$ 且 $A\in (0,\pi )$， 所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{7\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 当 $a=8$ 时，$b=11-8=3$。 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

（Ⅰ）求 $a$ 的值： 由 $\cos A=\frac{1}{8},\cos B=\frac{9}{16}$ 及 $A,B\in (0,\pi )$ 得： $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{8}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$，$\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{9}{16}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\frac{a}{\frac{3\sqrt{7}}{8}}=\frac{11-a}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}⟹\frac{8a}{3}=\frac{16(11-a)}{5}$ $40a=48(11-a)⟹40a=528-48a⟹88a=528⟹a=6$

（Ⅱ）求 $\sin C$ 及面积： $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ $\sin C=\frac{3\sqrt{7}}{8}\cdot \frac{9}{16}+\frac{1}{8}\cdot \frac{5\sqrt{7}}{16}=\frac{27\sqrt{7}+5\sqrt{7}}{128}=\frac{32\sqrt{7}}{128}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 当 $a=6$ 时，$b=11-6=5$。 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 条件选择的策略： - 条件 ① 涉及一元二次方程，计算量主要在展开平方项，逻辑较为线性。
  • 条件 ② 涉及较多的分数运算和两角和公式，对计算精度的要求更高。
• 钝角的识别： 在条件 ① 中，$\cos A<0$ 说明 $A$ 是钝角，这有助于直观判断三角形形状。
• 正弦定理的比例性： 在条件 ② 中，直接利用 $a:b=\sin A:\sin B$ 可以更简洁地求出边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 大边对大角： 在解三角形时，始终要注意边角大小的对应关系。例如条件 ① 中 $a=8,b=3,c=7$，最大边 $a$ 对钝角 $A$，符合几何常识。
2. 两角和公式： 在处理 $\sin C$ 时，利用 $\sin C=\sin (A+B)$ 是标准套路。但在处理 $\cos C$ 时，一定要用 $\cos C=-\cos (A+B)$，符号极易出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2009-北京卷理-15
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形