本题导读
本题考查频率估计概率。核心在于概率建模法、分类讨论法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2020年北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生（支持/不支持） 女生（支持/不支持） 方案一 200人 / 400人 300人 / 100人 方案二 350人 / 250人 150人 / 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 。假设该校某年级有 500 名男生和 300 名女生，除该年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小。（结论不要求证明）
🔍【思路分析】
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（Ⅰ）概率估计： 利用公式 即可。
（Ⅱ）独立性概率计算： “3人中恰有2人支持”属于互斥事件的并集，需分类讨论：
情况 1：2名男生支持，1名女生不支持。
情况 2：1名男生支持，1名男生不支持，1名女生支持。
（Ⅲ）均值与比例的比较： 这是一个关于加权平均数的直观判断。需要分析样本中男女比例与特定年级（或总体）中男女比例的关系。
- 样本中方案二支持概率：男生 ，女生 。
- 男生支持率明显高于女生。若某个群体中男生比例更高，则该群体的总支持率 就会更高。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
由表可知，抽样的男生总数为 人，女生总数为 人。
- 男生支持方案一的概率估计值 。
- 女生支持方案一的概率估计值 。
设 3 人中恰有 2 人支持方案一为事件 。 由（Ⅰ）知，男生支持概率为 ，女生支持概率为 。
- 情况 1（2男持，1女不持）：。
- 情况 2（1男持，1男不持，1女持）：。 由于情况 1 与情况 2 互斥，则：
结论：。 (解析参考：样本中男生占比为 。该年级男生占比为 。因为男生支持方案二的概率远高于女生，且该年级男生比例高于样本比例，故该年级支持概率高于 ，进而推导总体平均值 会被拉低，从而 。)
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 独立性： 题目强调“相互独立”，意味着我们可以直接使用概率乘法公式 。
- 组合数的运用： 在从多个人中抽取部分人满足条件时， 的系数非常关键，容易漏掉。
- 统计推断： 北京卷的第三问常考查对“加权平均”的敏感度，不需要复杂计算，重在逻辑理解。
📖【试题探源与推广】
Tip
本题的第三问其实触及了统计学中著名的辛普森悖论。
- 权重影响： 当我们将两个群体合并时，最终的平均支持率不仅取决于各自群体的支持率，还取决于各群体的人数占比。
- 决策参考： 如果校方要推行方案二，从统计数据看，应优先在男生较多的年级开展试点，因为男生的支持倾向明显高于女生。
- 数据偏差： 在实际调研中，如果样本的男女比例与全校真实比例不一致，直接使用样本总支持率作为全校估计值就会产生偏差。
🔗【关联脉络】
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