2020-天津卷-06 单-中间值比较大小

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）6. 设 $a=3^{0.7}$，$b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0.8}$，$c={\log }_{0.7}0.8$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（ ）

A. $a<b<c$　　B. $b<a<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一形式： 观察 $a$ 和 $b$。$b=(\frac{1}{3}{)}^{-0.8}=(3^{-1}{)}^{-0.8}=3^{0.8}$。此时 $a$ 与 $b$ 底数相同，均为 3。

2. 利用单调性比较 $a$ 与 $b$： 函数 $y=3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。因为 $0.8>0.7$，所以 $3^{0.8}>3^{0.7}$，即 $b>a$。

3. 利用中间量 1 比较 $a$ 与 $c$：

• 对于 $a=3^{0.7}$：底数 $3>1$，指数 $0.7>0$，所以 $a>3^0=1$。
• 对于 $c={\log }_{0.7}0.8$：底数 $0.7<1$。

函数 $y={\log }_{0.7}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 因为 $0.8>0.7$，所以 ${\log }_{0.7}0.8<{\log }_{0.7}0.7=1$。 由于 $0.8<1$，且底数 $0.7<1$，由“同号得正”可知 $c>0$。 所以 $0<c<1$。

4. 综合排序： $c<1$，$a>1$，$b>a$，得出 $c<a<b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 转化 $b$ 的表达： $b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0.8}=3^{0.8}$。
2. 比较 $a,b$： 因为 $y=3^x$ 是增函数，且 $0.8>0.7$，所以 $3^{0.8}>3^{0.7}$，即 $b>a$。 又因为 $3^{0.7}>3^0=1$，所以 $b>a>1$。
3. 分析 $c$： 对于 $c={\log }_{0.7}0.8$，底数 $0.7\in (0,1)$。 因为 $y={\log }_{0.7}x$ 是减函数，且 $0.8>0.7$， 所以 ${\log }_{0.7}0.8<{\log }_{0.7}0.7=1$。
4. 结论： 综上所述，$c<1<a<b$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心工具——中间值法： * 先看正负：对数 ${\log }_{A}B$，若 $A,B$ 同在 $(1,+\infty )$ 或同在 $(0,1)$，则值为正；若分布在 1 的两侧，则值为负。
  • 再看与 1 的大小：底数与真数相对于 1 的位置决定了结果是否大于 1。
• 计算陷阱： 负指数幂的转化一定要熟练，$(\frac{1}{m}{)}^{-n}=m^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 第一梯队（基础）： 像本题一样，可以通过 0 或 1 直接切分。
2. 第二梯队（进阶）： 需要利用中间量 0.5 或其他具体数值。例如比较 ${\log }_{2}3$ 与 ${\log }_{3}4$。
3. 第三梯队（综合）： 结合函数的单调性或导数。如比较 $e^{\pi }$ 与 ${\pi }^e$。

解题逻辑： $a=3^{0.7}>1$，$b=3^{0.8}>a$，这两个都大于 1。 $c$ 的底数和真数都小于 1 但真数大于底数，在减函数中大自变量对应小函数值，故 $c<{\log }_{0.7}0.7=1$。 排序完成：$c<a<b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-辽宁卷-02 单-指数函数的单调性
• 2011-上海卷理-16
• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算