2020-天津卷-07 单-直线位置关系

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标，以及直线的截距式方程与斜率。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）7. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点和点 $(0,b)$ 的直线为 $l$。若 $C$ 的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与 $l$ 垂直，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $x^2-\frac{y^2}{4}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x^2-y^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定直线 $l$ 的斜率：

• 首先求出抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标 $(p/2,0)$。

• 利用两点式或截距式写出经过焦点和 $(0,b)$ 的直线 $l$ 的方程，并提取斜率 $k_l$。

2. 建立渐近线与 $l$ 的关系：

• 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 一条平行：意味着 $\frac{b}{a}$ 或 $-\frac{b}{a}$ 等于 $k_l$。
• 另一条垂直：意味着斜率之积等于 $-1$。

3. 联立求解： 通过上述两个斜率条件解出 $a$ 和 $b$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 求直线 $l$ 的斜率： 抛物线 $y^2=4x$ 中，$2p=4⟹p=2$，其焦点为 $F(1,0)$。 直线 $l$ 经过点 $F(1,0)$ 和点 $(0,b)$。 由截距式（或两点式斜率公式）可得： $k_l=\frac{b-0}{0-1}=-b$。

2. 分析渐近线斜率： 双曲线 $C$ 的两条渐近线斜率分别为 $k_1=\frac{b}{a}$ 和 $k_2=-\frac{b}{a}$。

3. 利用平行与垂直条件列方程：

• 因为 $a>0,b>0$，所以 $k_1>0,k_2<0$，而 $k_l=-b<0$。

• 平行条件： 直线 $l$ 只能与斜率为负的渐近线平行，即： $-b=-\frac{b}{a}⟹a=1$。

• 垂直条件： 直线 $l$ 必须与另一条渐近线垂直，即： $(-b)\times \frac{b}{a}=-1⟹\frac{b^2}{a}=1$。

4. 求得结果： 将 $a=1$ 代入 $\frac{b^2}{a}=1$ 中，解得 $b^2=1⟹b=1$。 所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$，即 $x^2-y^2=1$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 斜率判定： 熟练掌握直线平行 ($k_1=k_2$) 和垂直 ($k_1\cdot k_2=-1$) 的条件。
• 基本参数： 抛物线的 $p$ 与焦点坐标的关系，双曲线渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$（焦点在 $x$ 轴时）是常考点。
• 逻辑匹配： 在第 3 步中，要根据 $b$ 和 $a$ 均为正数来匹配哪条渐近线对应平行、哪条对应垂直，避免张冠李戴。

📖【试题探源与推广】

Tip

天津卷的解析几何小题（第 7 或 第 8 题）经常采用**“双曲线 + 抛物线”或“双曲线 + 圆”**的组合模式。

• 常见切入点：
  1. 共享焦点：双曲线的焦点恰好是抛物线的焦点。
  2. 渐近线与圆相切：渐近线到圆心的距离等于半径。
  3. 准线与焦点关系：抛物线的准线经过双曲线的某个特征点。

解题要点： 看到“一条平行，另一条垂直”，且渐近线斜率互为相反数，立刻想到这两条渐近线必须互相垂直。如果渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 互相垂直，则 $\frac{b}{a}\cdot (-\frac{b}{a})=-1⟹a=b$（等轴双曲线）。选项中只有 A 和 D 是等轴双曲线。再结合直线过 $(1,0)$ 和 $(0,b)$ 斜率为 $-b$，平行于 $-1$，得 $b=1$，选 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2012年四川卷理-6
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质