2020-天津卷-14 填-整体思想求值

本题导读

本题考查基本不等式

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）14. 已知 $a>0,b>0$，且 $ab=1$，则 $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察已知条件： 已知 $ab=1$，这意味着 $\frac{1}{a}=b$ 且 $\frac{1}{b}=a$。这是一个非常强力的代换信号。

2. 目标式变形： 将目标式前两项通分，或者直接利用 $ab=1$ 进行替换： $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{a+b}{2ab}$ 由于 $ab=1$，前两项直接简化为 $\frac{a+b}{2}$。

3. 构造基本不等式模型： 原式变为 $\frac{a+b}{2}+\frac{8}{a+b}$。 设 $t=a+b$，由于 $a,b>0$ 且 $ab=1$，根据基本不等式 $t=a+b\ge 2\sqrt{ab}=2$。 目标式转化为 $g(t)=\frac{t}{2}+\frac{8}{t}$，其中 $t\ge 2$。

4. 求解最值： 利用基本不等式 $\frac{t}{2}+\frac{8}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{8}{t}}$ 求解，并检查等号成立的条件。

✅【答案】

点击查看答案

4

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 4

【解析过程】

1. 代数式化简： 因为 $ab=1$，所以： $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{b}{2ab}+\frac{a}{2ab}=\frac{a+b}{2}$ 故原式可以写为： $\frac{a+b}{2}+\frac{8}{a+b}$

2. 应用基本不等式： 因为 $a>0,b>0$，所以 $a+b>0$。 根据基本不等式： $\frac{a+b}{2}+\frac{8}{a+b}\ge 2\sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot \frac{8}{a+b}}=2\sqrt{4}=4$

3. 校验等号成立条件： 当且仅当 $\frac{a+b}{2}=\frac{8}{a+b}$ 时等号成立。 $(a+b{)}^2=16⟹a+b=4(\text{舍去 }-4)$ 联立 $\{\begin{array}{l}a+b=4\\ ab=1\end{array}$。 由韦达定理知 $a,b$ 是方程 $x^2-4x+1=0$ 的两根。 解得 $x=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=2\pm \sqrt{3}$。 因为 $2\pm \sqrt{3}>0$，满足题意，故最小值确为 4。

故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• “1”的妙用： 在不等式题目中，看到 $ab=1$ 或 $a+b=1$，往往意味着可以通过乘除这个“1”来配凑出所需的项。
• 整体换元： 将 $a+b$ 看作一个整体 $t$，使复杂的双变量问题降维成单变量函数。
• 等号检查： 填空题虽不写过程，但务必口算一下 $t=4$ 是否在 $t\ge 2$ 的取值范围内。如果要求的 $t$ 不在定义域内，则需利用单调性（对勾函数）在端点处取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 常数代换： 已知 $a+b=1$，求 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值。做法是 $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})$ 展开。
2. 消元法： 如本题，利用 $ab=1$ 消去分母。
3. 二元二次型： 求 $a^2+b^2$ 在 $a+b=k$ 下的最值。

快速求解： 看到 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 直接脑补成 $\frac{a+b}{ab}=a+b$。式子秒变 $\frac{1}{2}t+\frac{8}{t}$，口算 $2\sqrt{4}=4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2006-浙江卷理-07 单-基本不等式
• 2007-上海卷理-05 填-代数式最值