2020-天津卷-16 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于边角转化法、恒等变形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$。已知 $a=2\sqrt{2},b=5,c=\sqrt{13}$。

（1）求角 $C$ 的大小；

（2）求 $\sin A$ 的值；

（3）求 $\sin (2A+\frac{\pi }{4})$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：余弦定理求角 已知 $a,b,c$ 三边长度，求角 $C$ 的唯一途径是余弦定理。注意计算后需由 $\cos C$ 的值在 $(0,\pi )$ 范围内锁定角度。

2. 第二问：正弦定理求正弦值 由于第一问已求得 $\sin C$ 和 $C$，利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 即可求出 $\sin A$。

3. 第三问：倍角与和角公式

• 目标式 $\sin (2A+\frac{\pi }{4})$ 展开需要 $\sin 2A$ 和 $\cos 2A$。
• 核心在于先由 $\sin A$ 求出 $\cos A$。注意：由 $a<c$ 可判定 $A<C$，由于 $C=45^{\circ }$，故 $A$ 必为锐角。

✅【答案】

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$C=\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 代入已知数据 $a=2\sqrt{2},b=5,c=\sqrt{13}$： $\cos C=\frac{(2\sqrt{2}{)}^2+5^2-(\sqrt{13}{)}^2}{2\times 2\sqrt{2}\times 5}=\frac{8+25-13}{20\sqrt{2}}=\frac{20}{20\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $0<C<\pi$，所以 $C=\frac{\pi }{4}$。

在 $△ABC$ 中，$a=2\sqrt{2},c=\sqrt{13},\sin C=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$

1. 确定 $A$ 的范围及 $\cos A$： 由 $a=\sqrt{8},c=\sqrt{13}$ 知 $a<c$，则 $A<C=\frac{\pi }{4}$。 所以 $A$ 为锐角，则 $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
2. 求二倍角值： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{2}{\sqrt{13}}\times \frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{12}{13}$ $\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=\frac{9}{13}-\frac{4}{13}=\frac{5}{13}$
3. 计算最终结果： $\sin (2A+\frac{\pi }{4})=\sin 2A\cos \frac{\pi }{4}+\cos 2A\sin \frac{\pi }{4}$ $=\frac{12}{13}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{13}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{26}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度： 正余弦定理是解三角形的基石，二倍角公式则是连接三角形与三角函数的桥梁。
• 细节失分点： 在（Ⅲ）中如果不讨论 $A$ 的范围直接求 $\cos A$，虽然本题结果正确，但在严谨的解答题阅卷中可能会扣除过程分。
• 计算校验： 求出 $\sin 2A$ 和 $\cos 2A$ 后，可以快速口算 ${\sin }^{2}2A+{\cos }^{2}2A=1$ 是否成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

在高考大题中，单纯已知三边求值的情况越来越少，往往会结合中线长、角平分线长或者面积条件。

• 技巧： 若已知中线 $AD$，常利用向量 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ 平方或者余弦定理的补角性质（$\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ }$）来建立方程。

在（Ⅲ）中，我们通过 $a<c$ 判定 $A<C=45^{\circ }$。这种利用边长关系缩减角范围的方法非常高效。

• 如果 $\sin A$ 求出两个值（通常在已知两边一对角时出现），一定要回过头看边长约束，剔除不符合“大边对大角”的假解。

处理 $\sin (2A+\varphi )$ 这种结构时，除了展开法，还可以关注是否可以利用辅助角公式。但在本题这种已知具体边长的情况下，二倍角展开法依然是最稳健、得分率最高的路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2022-天津卷-16 解-解三角形
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换