2020-新高考II卷-08 单-不等式解法

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）若定义在 $\mathbf{R}$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 单调递减, 且 $f(2)=0$, 则满足 $xf(x-1)\ge 0$ 的 $x$ 的取值范围是 ( )

A. $[-1,1]\cup [3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　B. $[-3,-1]\cup [0,1]$

C. $[-1,0]\cup [1,+\infty )$　　　　　　　　　　　　D. $[-1,0]\cup [1,3]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据奇函数性质及在 $(-\infty ,0)$ 上的单调性，推导得出 $f(x)$ 在全圆周上的单调性及符号法则。
2. 利用 $f(2)=0$ 结合奇偶性得出 $f(-2)=0$ 及 $f(0)=0$。
3. 将不等式 $xf(x-1)\ge 0$ 转化为两个因式同号（同正或同负）的情况求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且 $f(0)=0$。 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，由奇函数性质知其在 $(0,+\infty )$ 上也单调递减。 已知 $f(2)=0$，由奇函数得 $f(-2)=-f(2)=0$。 根据单调性与零点可得 $f(x)$ 的符号： 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$f(x)>0$； 当 $x\in (-2,0)$ 时，$f(x)<0$； 当 $x\in (0,2)$ 时，$f(x)>0$； 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$f(x)<0$. 欲使 $xf(x-1)\ge 0$，分为两种情况： 情况一：$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ f(x-1)\ge 0\end{array}$ 由 $f(x-1)\ge 0$，结合 $f(t)$ 的符号，自变量 $t=x-1$ 需满足： $t\le -2$ 或 $0\le t\le 2$. 即 $x-1\le -2⟹x\le -1$（与 $x\ge 0$ 矛盾，无解）； 或 $0\le x-1\le 2⟹1\le x\le 3$. 同时结合 $x\ge 0$，得解集为 $[1,3]$。 情况二：$\{\begin{array}{l}x\le 0\\ f(x-1)\le 0\end{array}$ 由 $f(x-1)\le 0$，自变量 $t=x-1$ 需满足： $-2\le t\le 0$ 或 $t\ge 2$. 即 $-2\le x-1\le 0⟹-1\le x\le 1$； 结合 $x\le 0$，得解集为 $[-1,0]$。 或 $x-1\ge 2⟹x\ge 3$（与 $x\le 0$ 矛盾，无解）。 综上所述，$x$ 的取值范围为 $[-1,0]\cup [1,3]$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性、单调性、不等式恒成立与求解。
2. 核心方法：利用奇函数性质画出草图或推导符号区间，转化为不等式组求解。
3. 避坑指南：切记奇函数在原点有定义时 $f(0)=0$，且整体单调性需要分段准确推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数性质综合题的经典压轴选择题。
2. 结论推广：奇函数在对称区间上的单调性相同，利用零点和单调性可以完全确定函数值的符号分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-17
• 1995-全国卷理-16
• 1996-全国卷理-20