2020-新高考II卷-13 填-锥体体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积，以及锥体体积公式。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $M,N$ 分别为棱 $B{B}_1,AB$ 的中点, 则三棱锥 $A-NM{D}_1$ 的体积为_____.

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，写出相关点 $A,N,M,D_1$ 的坐标。
2. 利用空间向量的混合积公式计算三棱锥的体积，或者通过割补法求体积。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为坐标原点，$AB,AD,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 因为正方体棱长为 2，所以点坐标分别为： $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $N$ 是 $AB$ 中点，故 $N(1,0,0)$。 $M$ 是 $B{B}_1$ 中点，$B(2,0,0),B_1(2,0,2)$，故 $M(2,0,1)$。 $D_1(0,2,2)$。 利用向量计算三棱锥 $A-NM{D}_1$ 的体积： $\overrightarrow{AN}=(1,0,0)$ $\overrightarrow{AM}=(2,0,1)$ $\overrightarrow{A{D}_1}=(0,2,2)$ 体积公式为 $V=\frac{1}{6}|\det (\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{A{D}_1})|$。 计算行列式： $\det =1\cdot (0\cdot 2-1\cdot 2)=-2$，绝对值为 2。 故 $V=\frac{1}{6}\times 2=\frac{1}{3}$。 故答案为：$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体体积、向量混合积。
2. 核心方法：坐标法能够高效求解复杂位置的三棱锥体积。
3. 避坑指南：建系时注意坐标轴的方向与各点坐标的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何度量计算的经典填空题。
2. 结论推广：四面体体积可用行列式或等体积法快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1991-全国卷理-23