2020-新高考II卷-21 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、设直线方程联立求面积最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$, 点 $A$ 为其左顶点, 且 $AM$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 点 $N$ 为椭圆上任意一点, 求 $△AMN$ 的面积的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据左顶点 $A(-a,0)$ 及点 $M(2,3)$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 建立方程求出 $a$，再代入点 $M$ 坐标结合 $b^2=a^2-c^2$ 或直接求 $b^2$ 得到椭圆方程。
2. 设直线 $AM$ 的方程，利用点到直线距离公式表示 $△AMN$ 边 $AM$ 上的高，转化为关于参数的最值问题或利用导数/参数方程求面积最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$S_{\max }=18$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 椭圆 $C$ 的左顶点为 $A(-a,0)$。 因为点 $M(2,3)$ 在椭圆上，且直线 $AM$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$， 所以 $k_{AM}=\frac{3-0}{2-(-a)}=\frac{3}{2+a}=\frac{1}{2}$。 解得 $2+a=6⟹a=4$. 故左顶点坐标为 $A(-4,0)$。 因为点 $M(2,3)$ 在椭圆 $C$ 上，将 $a=4$ 及 $M(2,3)$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$： $\frac{2^2}{16}+\frac{3^2}{b^2}=1⟹\frac{1}{4}+\frac{9}{b^2}=1⟹\frac{9}{b^2}=\frac{3}{4}⟹b^2=12$. 因此，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$.

(2) 直线 $AM$ 过点 $A(-4,0)$ 和 $M(2,3)$，其方程为 $y-0=\frac{1}{2}(x+4)⟹x-2y+4=0$. 设椭圆上的动点 $N(x_0,y_0)$，则 $\frac{x_0^2}{16}+\frac{y_0^2}{12}=1$. 点 $N$ 到直线 $AM$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|x_0-2y_0+4|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|x_0-2y_0+4|}{\sqrt{5}}$. 线段 $AM$ 的长度为 $|AM|=\sqrt{(2-(-4){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. $△AMN$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}|AM|\cdot d=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{5}\times \frac{|x_0-2y_0+4|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{2}|x_0-2y_0+4|$. 为了求 $|x_0-2y_0+4|$ 的最大值，可以采用参数方程法： 设椭圆的参数方程为 $\{\begin{array}{l}{x}_0=4\cos \theta \\ y_0=2\sqrt{3}\sin \theta \end{array}$ ($\theta \in [0,2\pi ]$). 代入得： $x_0-2y_0+4=4\cos \theta -4\sqrt{3}\sin \theta +4=8\left(\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta \right)+4=8\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+4$. 当 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，最大值为 $8+4=12$； 当 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=-1$ 时，最小值为 $-8+4=-4$. 故 $|x_0-2y_0+4|$ 的最大值为 $12$. 因此，$△AMN$ 面积的最大值为： $S_{\max }=\frac{3}{2}\times 12=18$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程、点到直线距离、三角换元求最值。
2. 核心方法：利用椭圆参数方程将代数式转化为三角函数有界性求最值。
3. 避坑指南：求三角形面积时合理利用底边定长、高利用点到直线距离公式转化为单变量三角函数最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考圆锥曲线压轴解答题的标准题型。
2. 结论推广：椭圆上动点到定直线距离的最值常通过平行切线法或三角参数方程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 1993-旧高考理-27
• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程