本题导读
本题考查线面平行的判定定理。核心在于综合几何法 (推理论证)的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2020年江苏卷）15. 在三棱柱 中，， 平面 ， 分别是 的中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 。
🔍【思路分析】
破题导航
（1）证明线面平行：
找线线平行： 在 中， 分别是 的中点。根据中项线定理，易得 。
利用判定定理： 只要证明 平行于平面内的一条线，且 本身不在面内即可。
（2）证明面面垂直：
- 核心策略： 证明“线面垂直 面面垂直”。通常寻找平面 内的一条线垂直于平面 。
- 寻找突破口： 题干给出 。若能再证 垂直于 ，则 平面 。
- 转化条件： 已知 平面 ，而 就在底面内，垂直关系自然成立。
✅【答案】
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平面 平面
✍【详细解析】
Abstract
（1）证明： 平面 证明：
- 在 中， 因为 分别是 的中点， 所以 是 的中位线，则 。
- 因为 平面 ，且 平面 （侧面对角线），
- 所以由线面平行的判定定理得： 平面 。
（2）证明：平面 平面 证明：
因为 平面 ，且 平面 ， 所以由线面垂直的性质得：。
又已知 ，且 ，
因为 平面 ， 所以由线面垂直的判定定理得： 平面 。
又因为 平面 ，
所以由面面垂直的判定定理得：平面 平面 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 判定定理的完整性： 江苏卷对解答题步骤要求极严，证明线面垂直时，“相交” () 和 “面内” () 必须写明。
- 几何体的特征： 注意到 平面 ，说明侧棱 并不垂直于底面，该棱柱是一个“斜三棱柱”。在处理此类题目时，不能想当然地认为侧面是矩形。
📖【试题探源与推广】
Tip
立体几何的核心在于维度的转换：
- 面面平行/垂直 线面平行/垂直 线线平行/垂直。
- 本题第（2）问就是典型的通过证明“线面垂直” ( 平面 ) 来推导“面面垂直”。
在不建立空间直角坐标系的情况下，中点通常有两大作用：
- 构造平行： 利用三角形中位线或平行四边形。
- 构造垂直： 利用等腰三角形“三线合一”。 本题（1）问利用中位线构造平行，是非常标准的套路。
在三棱柱中，学生容易习惯性认为 底面。但本题给出的条件是 底面，这意味着 在底面的投影是 。这种不规则的投影关系是江苏卷命题人用来甄别学生是否真正掌握判定定理，还是仅仅依靠“看起来垂直”来做题的关键手段。在书写过程中，每一步结论都必须有题干已知或定理支撑。
🔗【关联脉络】
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